Ένα όμορφο όριο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\mathcal{H}_n - \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k \right) }$ όπου $\mathcal{H}_n$ ο

- οστός αρμονικός όρος.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:53 am
Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\mathcal{H}_n - \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k \right) }$ όπου $\mathcal{H}_n$ ο - οστός αρμονικός όρος.

Θα δείξω πρώτα τους ακόλουθους τύπους που φαίνονται ανεξάρτητου ενδιαφέροντος

$\displaystyle{ \boxed {\frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k = \int _{1/2}^1 \frac {x^n-1}{x-1}\, dx }$ και $\displaystyle{ \boxed { \mathcal{H}_n - \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k = \int _0^ {1/2}\frac {x^n-1}{x-1}\, dx}$

Το ζητούμενο όριο είναι πόρισμα του δεύτερου τύπου καθώς

$\displaystyle{ \int _0^ {1/2}\frac {x^n-1}{x-1}\, dx} = \int _0^ {1/2}\frac {x^n}{x-1}\, dx- \int _0^ {1/2}\frac {1}{x-1}\, dx}\to 0 - \int _0^ {1/2}\frac {1}{x-1}\, dx}= \ln 2 } }$

Έχουμε

$\displaystyle{ \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \left ( \sum_{m=1}^k \int _0^1 x^{m-1}\,dx \right) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \left ( \int _0^1 \sum_{m=1}^k x^{m-1}\,dx \right)$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \int _0^1 \frac {x^k-1}{x-1}\,dx = \frac{1}{2^n} \int _0^1 \frac { \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}1}{x-1}\,dx$

$\displaystyle{ = \frac{1}{2^n} \int _0^1 \frac { (1+x)^n- 2^n}{x-1}\,dx = \int _0^1 \frac { \left (\frac {1+x}{2} \right )^n- 1}{x-1}\,dx = \int _{1/2}^1 \frac { y^n- 1}{y -1}\,dx$

(έθεσα $\frac {1+x}{2}=y$ ) , που είναι ο πρώτος τύπος.

Ο δεύτερος είναι άμεσος από $\displaystyle{ \mathcal{H}_n = \int _ 0^1 (1+y + ... +y^{n-1})\, dy = \int _{0}^1 \frac { y^n- 1}{y -1}\,dy}$ . Τελειώσαμε.

Σχόλιο: Το ζητούμενο όριο σίγουρα βγαίνει και με την μέθοδο "concentration of measures" που έχουμε δει στο φόρουμ (ελέω Δημήτρη Χριστοφίδη). Προτίμησα το παραπάνω γιατί είναι πιο προσιτό και γιατί έχουμε ανεξάρτητους τύπους πριν την λήψη ορίου.

Tolaso J Kos · #3

Έχω κάνει ακριβώς τα ίδια. Χαριτωμένο το είχα βρει.

Ένα όμορφο όριο

Ένα όμορφο όριο

Re: Ένα όμορφο όριο

Re: Ένα όμορφο όριο

Μέλη σε σύνδεση