Ένα όμορφο όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3467
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ένα όμορφο όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:53 am

Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow  +\infty} \left(\mathcal{H}_n - \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k \right) } όπου \mathcal{H}_n ο n - οστός αρμονικός όρος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10310
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όμορφο όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 19, 2018 7:01 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:53 am
Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow  +\infty} \left(\mathcal{H}_n - \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k \right) } όπου \mathcal{H}_n ο n - οστός αρμονικός όρος.
Θα δείξω πρώτα τους ακόλουθους τύπους που φαίνονται ανεξάρτητου ενδιαφέροντος

\displaystyle{ \boxed {\frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k  = \int _{1/2}^1 \frac {x^n-1}{x-1}\, dx } και \displaystyle{ \boxed { \mathcal{H}_n - \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k =  \int _0^ {1/2}\frac {x^n-1}{x-1}\, dx}

Το ζητούμενο όριο είναι πόρισμα του δεύτερου τύπου καθώς

\displaystyle{  \int _0^ {1/2}\frac {x^n-1}{x-1}\, dx} =  \int _0^ {1/2}\frac {x^n}{x-1}\, dx-   \int _0^ {1/2}\frac {1}{x-1}\, dx}\to 0 - \int _0^ {1/2}\frac {1}{x-1}\, dx}= \ln 2 } }

Έχουμε

\displaystyle{ \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \mathcal{H}_k  = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \left ( \sum_{m=1}^k \int _0^1 x^{m-1}\,dx  \right)  = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \left (  \int _0^1 \sum_{m=1}^k x^{m-1}\,dx  \right)

\displaystyle{ = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}  \int _0^1 \frac {x^k-1}{x-1}\,dx  = \frac{1}{2^n} \int _0^1  \frac { \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}1}{x-1}\,dx

\displaystyle{  = \frac{1}{2^n} \int _0^1  \frac { (1+x)^n- 2^n}{x-1}\,dx =  \int _0^1  \frac { \left (\frac {1+x}{2} \right )^n- 1}{x-1}\,dx  =  \int _{1/2}^1  \frac { y^n- 1}{y -1}\,dx

(έθεσα \frac {1+x}{2}=y) , που είναι ο πρώτος τύπος.

Ο δεύτερος είναι άμεσος από \displaystyle{ \mathcal{H}_n  = \int _ 0^1 (1+y + ... +y^{n-1})\, dy =   \int _{0}^1  \frac { y^n- 1}{y -1}\,dy}. Τελειώσαμε.

Σχόλιο: Το ζητούμενο όριο σίγουρα βγαίνει και με την μέθοδο "concentration of measures" που έχουμε δει στο φόρουμ (ελέω Δημήτρη Χριστοφίδη). Προτίμησα το παραπάνω γιατί είναι πιο προσιτό και γιατί έχουμε ανεξάρτητους τύπους πριν την λήψη ορίου.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3467
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ένα όμορφο όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 19, 2018 7:31 pm

Έχω κάνει ακριβώς τα ίδια. Χαριτωμένο το είχα βρει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης