Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 04, 2018 9:29 pm

Ας δηλώσουμε με \mathcal{H}_n το n - οστό αρμονικό όρο. Δείξατε ότι:

\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} n \left(\mathcal{H}_n -\log n -\gamma \right) = \frac{1}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Guardian
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 06, 2018 11:25 pm

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Guardian » Τρί Ιούλ 10, 2018 4:14 pm

Για τον Ν-οστό αρμονικό όρο έχουμε:

\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).

Οπότε :

\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} n(H_{n}-log{n}-\gamma)=\lim_{n\to\infty} (\dfrac {1} {2}+O(\dfrac 1 n))= \frac 1 2


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 11, 2018 2:59 pm

Guardian έγραψε:
Τρί Ιούλ 10, 2018 4:14 pm
Για τον Ν-οστό αρμονικό όρο έχουμε:

\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).

Οπότε :

\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} n(H_{n}-log{n}-\gamma)=\lim_{n\to\infty} (\dfrac {1} {2}+O(\dfrac 1 n))= \frac 1 2
Ωραία αλλά αυτό

\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).

πως αποδεικνύεται;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 11, 2018 3:15 pm

Σταύρο ,

γνωστός τύπος είναι . Το βρίσκει κάποιος και στη Wikipedia ... Αν θέλουμε απόδειξη ένας τρόπος ειναι να χρησιμοποιήσουμε το Euler - MacLaurin formula ..!!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 11, 2018 3:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:15 pm
Σταύρο ,

γνωστός τύπος είναι . Το βρίσκει κάποιος και στη Wikipedia ... Αν θέλουμε απόδειξη ένας τρόπος ειναι να χρησιμοποιήσουμε το Euler - MacLaurin formula ..!!!
Τόλη είναι γνωστός σε εσένα.
Αυτό που ξέρει ο περισσότερος κόσμος είναι ότι

H_{n}-\log n-\gamma \rightarrow 0

Εξάλλου αν θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό τότε η άσκηση είναι τετριμμένη.

Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin.

Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της \frac{1}{x}

και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3522
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:33 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:45 pm
Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin.

Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της \frac{1}{x}

και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις.
Ενδιαφέρον . Σκιαγράφηση της απόδειξης;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:40 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:33 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:45 pm
Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin.

Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της \frac{1}{x}

και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις.
Ενδιαφέρον . Σκιαγράφηση της απόδειξης;
Το πρόβλημα είναι το σχήμα που δεν μπορώ να κάνω.

Θα το περιγράψω.

Σχεδιάζουμε την \dfrac{1}{x},x\geq 1 και στο [n,n+1] το ορθογώνιο με βάση το [n,n+1] και ύψος το
\frac{1}{n}

Το \gamma είναι το άθροισμα των εμβαδών μέσα στα ορθογώνια που είναι πάνω από την \dfrac{1}{x},x\geq 1.

Θέτουμε a_{n}=H_{n-1}-\log n-\gamma

Αυτή η ακολουθία είναι το άθροισμα των εμβαδών μέσα στα ορθογώνια που είναι πάνω από την \dfrac{1}{x},x\geq 1
από το n και πέρα.

Αν φέρουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα (k,\frac{1}{k}),(k+1,\frac{1}{k+1}) το άθροισμα των εμβαδών των

τριγώνων από το n και πέρα εύκολα υπολογίζεται γεωμετρικά ότι είναι \frac{1}{2n}

Ετσι παίρνουμε ότι

a_{n}=\frac{1}{2n}+\sum_{k=n}^{\infty }\int_{k}^{k+1}(\frac{1}{2}(\frac{1}{k}+\frac{1}{k +1})-\frac{1}{x})dx

Υπολογίζοντας τα ολοκληρώματα η χρησιμοποιώντας τον τύπο του τραπεζίου βγαίνουν O(\frac{1}{k^{3}})

Επειδή \sum_{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^{3}}=O(\frac{1}{n^{2}})

παίρνουμε το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες