Σειρά Fourier

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά Fourier

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 04, 2018 6:01 pm

Δίδεται η συνάρτηση f(x) = \log \left(1 - \cos x \right) \; , \; x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right).
  1. Να αναπτυχθεί η f σε σειρά Fourier.
  2. Να εξεταστεί αν η σειρά Fourier συγκλίνει ομοιόμορφα στην f.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2883
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σειρά Fourier

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:16 am

Είναι γνωστό ότι
\log(\sin{t})=-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in(0,\pi)\,,\quad(1)
Τότε

\begin{aligned} 
\log(1-\cos{x})&=\log\big(2\sin^2\tfrac{x}{2}\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\log2+2\log\big(\sin\tfrac{x}{2}\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\stackrel{(1)}{=}\log2-2\log2-2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n\frac{x}{2})}{n}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=-\log2-2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n}\qquad\qquad\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\log(1-\sin{x})&=\log\big(1-\cos\big(\tfrac{\pi}{2}-x\big)\big)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=-\log2-2\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos\big(n\big(\frac{\pi}{2}-x\big)\big)}{n}\,.\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά Fourier

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:33 am

grigkost έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:16 am
Είναι γνωστό ότι
\log(\sin{t})=-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big)

Φαίνεται να είναι μονόδρομος η παραπάνω ταυτότητα. Αν πάει κανείς να υπολογίσει τα αντίστοιχα ολοκληρώματα κολλάει.

Σημείωση: Μένει το δεύτερο ερώτημα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά Fourier

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 05, 2018 12:05 pm

Το ii είναι άμεσο.

Τα μερικά αθροίσματα είναι συνεχείς συναρτήσεις.

Αν συγκλίνουν ομοιόμορφα τότε η συνάρτηση που συγκλίνουν

πρέπει να είναι συνεχής.

Εδώ η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.

(απειρίζεται στα άκρα)


Για το i

Πρέπει να πούμε τι ανάπτυξη θέλουμε.
Σε ημίτονα ,συνημίτονα ,η και στα δύο.

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα
του Dirichlet και τον συζυγή του.

Δηλαδή

D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}

Βάζοντας όπου x το 2x γίνεται

\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2 \sin x}

και ολοκληρώνοντας κατάλληλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά Fourier

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:21 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 12:05 pm
Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα
του Dirichlet και τον συζυγή του.

Δηλαδή

D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}

Βάζοντας όπου x το 2x γίνεται

\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2 \sin x}

και ολοκληρώνοντας κατάλληλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.
Δε βλέπω πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πυρήνα για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log \left( 1 - \cos x \right) \, \mathrm{d}x}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά Fourier

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:21 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 12:05 pm
Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα
του Dirichlet και τον συζυγή του.

Δηλαδή

D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}

Βάζοντας όπου x το 2x γίνεται

\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2 \sin x}

και ολοκληρώνοντας κατάλληλα μπορούμε να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα.
Δε βλέπω πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πυρήνα για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος \displaystyle{\int_0^{\pi/2} \log \left( 1 - \cos x \right) \, \mathrm{d}x}.
Τα ολοκληρώματα που πρέπει να υπολογίσουμε είναι αριθμήσιμα.

Αυτό που αναφέρεις είναι το μόνο που δεν χρησιμοποιείται ο πυρήνας.

Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά Fourier

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 06, 2018 3:49 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.
Ποια είναι αυτά ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά Fourier

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 06, 2018 6:17 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιούλ 06, 2018 3:49 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.
Ποια είναι αυτά ;
grigkost έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 8:16 am
Είναι γνωστό ότι
\log(\sin{t}) 
=-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in(0,\pi)\,,\quad(1)
Η απόδειξη της (1) όπως είναι στο γνωστό
θέλει δικαιολόγηση.Είναι μια ''τυπική'' απόδειξη.

Μπορεί να γίνει ως εξής.

Θεωρούμε την άρτια f(x)=\log \left | \sin x \right |,x\in (-\pi ,\pi )-\left \{ 0 \right \},f(0)=f(-\pi)=f(\pi)=0

και βρίσκουμε την σειρά Fourier της.

Οπότε πρέπει να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα

\int_{0}^{\pi }\log(\sin{t})dt, \int_{0}^{\pi }\log(\sin{t})\cos ntdt,n=1,2,....

Η ισότητα της σειράς Fourier με την συνάρτηση στο (0,\pi )

ισχύει γιατί σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση είναι παραγωγίσημη.

Συμπλήρωμα. Διόρθωσα αβλεψία στις τιμές της συνάρτησης στα άκρα
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Σάβ Ιούλ 07, 2018 1:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά Fourier

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 06, 2018 7:35 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιούλ 06, 2018 6:17 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιούλ 06, 2018 3:49 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη.
Ποια είναι αυτά ;

Η απόδειξη της (1) όπως είναι στο γνωστό
Α, δεν είδα ότι είχε παραπομπή ο Γρηγόρης. :)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης