Ακολουθία εμβαδών

#1

Έστω η ακολουθία $(\gamma_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ των κλειστών διαφορισίμων καμπυλών με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις

$\overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]\,,\; n\in{\mathbb{N}}$ .
Αν A_n

είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείει η καμπύλη $\gamma_n$ , να βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος της ακολουθίας $(A_n)_{n\in{\mathbb{N}}}$ καθώς και το όριο στο οποίο συγκλίνει αυτή η ακολουθία.

#2

Δίνουμε και μια λύση:

$\overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]\,,\; n\in{\mathbb{N}}$ . Επειδή το χωρίο που περικλείει η κλειστή καμπύλη $\gamma_n$ είναι συμμετρικό ως προς τον

-άξονα, για την εύρεση του εμβαδού A_n

αρκεί να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται πάνω από τον

-άξονα.

: akol_emb_1.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Αυτό, για $n\geqslant2$ ,(*) ισούται με(**)
$\begin{aligned} -\int_0^{\pi}|\sin(nt)|\,(-\sin{t})\,dt&=\int_0^{\pi}|\sin(nt)|\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}|\sin(nt)|\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}\sin(nt)\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{(-1)^k\,n}{n^2-1}\Big(\big(1+\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)\sin\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)+\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)\cos\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{n}{n^2-1}\bigg(\big(1+\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}\sin\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)+\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}\cos\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{n}{n^2-1}\bigg(\big(1+\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)\,\frac{\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)}{1-\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)}+\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)\,1\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{2n\,\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)}{(n^2-1)\big(1-\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)}\,. \end{aligned}$
Επομένως

$A_n=\dfrac{4n\,\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)}{(n^2-1)\big(1-\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)}\,,\quad n\in{\mathbb{N}}\,,\; n\geqslant2\,.$

: akol_emb_2.png (90.7 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Τελικά

$\begin{aligned} \mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}A_n&=\frac{4}{\pi}\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2-1}\,\frac{\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{\sin({\frac{\pi }{n}})}{\frac{\pi }{n}}}{\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{1-\cos({\frac{\pi}{n}})}{({\frac{\pi}{n}})^2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{4}{\pi}\cdot1\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\dfrac{8}{\pi}\,. \end{aligned}$

(*) $A_1=\pi\,.$

(**) Από το θεώρημα του Green, το εμβαδόν που περικλείεται από μια κλειστή, απλή, θετικά προσανατολισμένη, κατά τμήματα διαφορίσιμη καμπύλη $\overline{c}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big)\,,\; t\in[\alpha,\beta]$ , ισούται με $\oint_{c}-y\,dx=\int_{\alpha}^{\beta}-y(t)\,\frac{d}{dt}x(t)\,dt\,.$

Παρατήρηση: Αυτό που βρήκα ενδιαφέρον είναι το ότι αν και το χωρίο που περικλείει η καμπύλη $\overline{\gamma}_n$ "φαίνεται", όταν $n\to +\infty$ , να έχει εμβαδόν που τείνει στο

, αυτό δεν συμβαίνει.

Ακολουθία εμβαδών

Ακολουθία εμβαδών

Re: Ακολουθία εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση