Δίνουμε και μια λύση:
![\overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]\,,\; n\in{\mathbb{N}} \overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]\,,\; n\in{\mathbb{N}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2f2980be17869eb9e36c6d01193f2f39.png)
. Επειδή το χωρίο που περικλείει η κλειστή καμπύλη

είναι συμμετρικό ως προς τον

-άξονα, για την εύρεση του εμβαδού

αρκεί να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται πάνω από τον

-άξονα.

- akol_emb_1.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
Αυτό, για

,(*) ισούται με(**)
Επομένως

- akol_emb_2.png (90.7 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
Τελικά
(*)
(**) Από το θεώρημα του Green, το εμβαδόν που περικλείεται από μια κλειστή, απλή, θετικά προσανατολισμένη, κατά τμήματα διαφορίσιμη καμπύλη
![\overline{c}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big)\,,\; t\in[\alpha,\beta] \overline{c}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big)\,,\; t\in[\alpha,\beta]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/fa2bcbd7fa04942760d91d76cbf28428.png)
, ισούται με
Παρατήρηση: Αυτό που βρήκα ενδιαφέρον είναι το ότι αν και το χωρίο που περικλείει η καμπύλη

"φαίνεται", όταν

, να έχει εμβαδόν που τείνει στο

, αυτό δεν συμβαίνει.