Ακολουθία εμβαδών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Ακολουθία εμβαδών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιουν 23, 2018 10:15 am

Έστω η ακολουθία (\gamma_n)_{n\in{\mathbb{N}}} των κλειστών διαφορισίμων καμπυλών με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις

\overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]\,,\; n\in{\mathbb{N}}.
Αν A_n είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείει η καμπύλη \gamma_n, να βρεθεί ένας αναγωγικός τύπος της ακολουθίας (A_n)_{n\in{\mathbb{N}}} καθώς και το όριο στο οποίο συγκλίνει αυτή η ακολουθία.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ακολουθία εμβαδών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Αύγ 13, 2018 11:36 am

Δίνουμε και μια λύση:

\overline{\gamma}_n(t)=\big(\cos{t},\,\sin(nt)\big)\,,\; t\in[0,2\pi]\,,\; n\in{\mathbb{N}}. Επειδή το χωρίο που περικλείει η κλειστή καμπύλη \gamma_n είναι συμμετρικό ως προς τον x-άξονα, για την εύρεση του εμβαδού A_n αρκεί να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται πάνω από τον x-άξονα.
akol_emb_1.png
akol_emb_1.png (23.14 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
Αυτό, για  n\geqslant2,(*) ισούται με(**)
\begin{aligned} 
-\int_0^{\pi}|\sin(nt)|\,(-\sin{t})\,dt&=\int_0^{\pi}|\sin(nt)|\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}|\sin(nt)|\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}\sin(nt)\,\sin{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k\frac{(-1)^k\,n}{n^2-1}\Big(\big(1+\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)\sin\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)+\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)\cos\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{n}{n^2-1}\bigg(\big(1+\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}\sin\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)+\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{n-1}\cos\big({\tfrac{k\pi }{n}}\big)\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{n}{n^2-1}\bigg(\big(1+\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)\,\frac{\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)}{1-\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)}+\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)\,1\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{2n\,\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)}{(n^2-1)\big(1-\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)}\,. 
\end{aligned}
Επομένως

A_n=\dfrac{4n\,\sin\big({\tfrac{\pi }{n}}\big)}{(n^2-1)\big(1-\cos\big({\tfrac{\pi}{n}}\big)\big)}\,,\quad n\in{\mathbb{N}}\,,\; n\geqslant2\,.

akol_emb_2.png
akol_emb_2.png (90.7 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές
Τελικά

\begin{aligned} 
\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}A_n&=\frac{4}{\pi}\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2-1}\,\frac{\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{\sin({\frac{\pi }{n}})}{\frac{\pi }{n}}}{\mathop{\lim}\limits_{n\to+\infty}\frac{1-\cos({\frac{\pi}{n}})}{({\frac{\pi}{n}})^2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\frac{4}{\pi}\cdot1\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\dfrac{8}{\pi}\,. 
\end{aligned}


(*) A_1=\pi\,.

(**) Από το θεώρημα του Green, το εμβαδόν που περικλείεται από μια κλειστή, απλή, θετικά προσανατολισμένη, κατά τμήματα διαφορίσιμη καμπύλη \overline{c}(t)=\big(x(t),\,y(t)\big)\,,\; t\in[\alpha,\beta], ισούται με \oint_{c}-y\,dx=\int_{\alpha}^{\beta}-y(t)\,\frac{d}{dt}x(t)\,dt\,.


Παρατήρηση: Αυτό που βρήκα ενδιαφέρον είναι το ότι αν και το χωρίο που περικλείει η καμπύλη \overline{\gamma}_n "φαίνεται", όταν n\to +\infty, να έχει εμβαδόν που τείνει στο 4, αυτό δεν συμβαίνει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες