Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2688
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 13, 2018 10:31 am

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων \{f_n\}_{n\in\mathbb{N} που ορίζεται ως

f_{n}(x)=\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\,, \quad n\in\mathbb{N}\,,\quad x\in[2,+\infty)\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10367
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιουν 13, 2018 5:44 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 13, 2018 10:31 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων \{f_n\}_{n\in\mathbb{N} που ορίζεται ως

f_{n}(x)=\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\,, \quad n\in\mathbb{N}\,,\quad x\in[2,+\infty)\,.
Για κάθε σταθερό x είναι \displaystyle { \log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x) = \frac {\ln x }{\ln \lfloor{x}\rfloor n } = \frac {\ln x }{\ln \lfloor{x}\rfloor + \ln n } \to 0 καθώς n\to \infty. Χρησιμοποίησα οτι \ln n \to \infty καθώς n\to \infty.

Άρα η ακολουθία συγκλίνει κατά σημείο στο 0.

Η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη γιατί για κάθε σταθερό n ισχύει

\displaystyle {  \underset{x\ge 2}{\sup} \log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x) = \underset{x\ge 2}{\sup}  \frac {\ln x }{\ln \lfloor{x}\rfloor n } \ge \underset{x\ge 2}{\sup}  \frac { \ln \lfloor{x}\rfloor }{\ln \lfloor{x}\rfloor n }=\underset{m\ge 2, \, m \in \mathbb N}{\sup} \frac {\ln m }{\ln m + \ln n }= 1 (Χρησιμοποίησα οτι \ln m \to \infty καθώς m\to \infty)


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2688
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 13, 2018 6:10 pm

ή παρόμοια, για κάθε n\in\mathbb{N} :

\begin{aligned} 
\sup\big\{\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\;\big|\; x\in[2,+\infty)\big\}&\geqslant\log_{\lfloor{n}\rfloor n}(n)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\log_{n^2}(n)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\frac{\log({n})}{2\log(n)}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\frac{1}{2}\neq0\,.\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες