Σελίδα 1 από 1

Τοπικά και ολικά ακρότατα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 12, 2018 6:58 pm
από Tolaso J Kos
Έστω f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} όπου f(x, y)=xy και \mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2 ο μοναδιαίος κύκλος κέντρου (0, 0). Βρείτε τα τοπικά και ολικά ακρότατα της f.


Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ σε κάποιο μαθηματικό τμήμα.

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 12, 2018 8:24 pm
από grigkost
f:K\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}\,;\; f(x,y)=xy\,, K ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο το (0,0). Η εικόνα f(K) είναι η καμπύλη που είναι η τομή της επιφάνειας z=xy με τον κύλινδρο \big\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\;|\; x^2+y^2=1,\,z\in\mathbb{R}\big\}. Θέτοντας

\left\{\begin{array}{l} 
x=r\cos{t}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
y=r\sin{t} 
\end{array}\right\}\,,\quad (r,t)\in[0,+\infty)\times[0,2\pi)\,,
από τις παραπάνω σχέσεις x^2+y^2=1\,,\,z=xy, προκύπτει ότι μια παραμετρική παράσταση της f(K) είναι

\overrightarrow{\gamma}:[0,2\pi)\longrightarrow\mathbb{R}^3\,,\quad \overrightarrow{\gamma}(t)=\big(\cos{t},\sin{t},\frac{1}{2}\sin(2t)\big)\,.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της z-συνιστώσας είναι η \frac{1}{2} και -\frac{1}{2}, αντίστοιχα και προκύπτουν για t=\frac{\pi}{4}\,,\,t=\frac{5\pi}{4} και t=\frac{3\pi}{4}\,,\,t=\frac{7\pi}{4}, αντίστοιχα.
Επομένως η συνάρτηση f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στα σημεία \big(\cos\frac{\pi}{4},\sin\frac{\pi}{4}\big)=\big(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\big), \big(\cos\frac{5\pi}{4},\sin\frac{5\pi}{4}\big)=\big(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\big) κι ολικό ελάχιστο στα σημεία \big(\cos\frac{3\pi}{4},\sin\frac{3\pi}{4}\big)=\big(\frac{-\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\big), \big(\cos\frac{7\pi}{4},\sin\frac{7\pi}{4}\big)=\big(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\big).

Από την μονοτονία της g(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)\,, t\in[0,2\pi) προκύπτει ότι δεν υπάρχουν άλλα (τοπικά) ακρότατα.

min-max_f.png
min-max_f.png (48.07 KiB) Προβλήθηκε 469 φορές

Παρατήρηση: Προφανώς υπάρχει κι άλλος (κλασικός) τρόπος επίλυσης.

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 12, 2018 10:45 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 6:58 pm
Έστω f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R} όπου f(x, y)=xy και \mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}^2 ο μοναδιαίος κύκλος κέντρου (0, 0). Βρείτε τα τοπικά και ολικά ακρότατα της f.


Από σημερινή εξέταση Απ. ΙΙΙ σε κάποιο μαθηματικό τμήμα.
Από ότι γνωρίζω με \mathbb{D} συμβολίζουμε τον μοναδιαίο δίσκο.

Δηλαδή \mathbb{D}=\left \{ (x,y):x^{2}+y^{2} <1\right \}

Τον μοναδιαίο κύκλο συνήθως τον συμβολίζουμε με \mathbb{T}=\left \{ (x,y):x^{2}+y^{2}=1 \right \}.

Τόλη το θέμα πως ακριβώς είναι;

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 12, 2018 10:56 pm
από Tolaso J Kos
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 10:45 pm
Τόλη το θέμα πως ακριβώς είναι;
Σταύρο,

το θέμα είναι ακριβώς όπως ανέβηκε. Βέβαια ο διδάσκων έχει γράψει K για το κύκλο αλλά επειδή εγώ χρησιμοποιώ και για το δίσκο και για το κύκλο \mathbb{D} το έδωσα έτσι. Εφόσον όμως έχω δώσει τι είναι το \mathbb{D} στη συγκεκριμένη άσκηση , δε νομίζω να υπάρχει θέμα παρερμηνείας.

Re: Τοπικά και ολικά ακρότατα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιουν 12, 2018 11:09 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Αφού ξέρουμε πως ήταν το θέμα να γράψω μια στοιχειώδη λύση.

Θέλουμε μέγιστο ελάχιστο του xy

όταν x^{2}+y^{2}=1.

Ειναι -\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}\leq xy\leq \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}

Οπου η αριστερή ισότητα πιάνεται όταν x=-y=\frac{\sqrt{2}}{2},-x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}

και η δεξιά όταν x=y=\frac{\sqrt{2}}{2},-x=-y=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Αρα η μέγιστη τιμή είναι \frac{1}{2} και πιάνεται στα

(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})

και η ελάχιστη τιμή είναι -\frac{1}{2} και πιάνεται στα

(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}),(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})