Υπάρχει συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3380
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Υπάρχει συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Ιουν 12, 2018 6:36 pm

Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση \theta:\mathbb{R}^2 \rightarrow [0, 1] για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\sin (x+y) =  x+y - \frac{1}{2} \left( x^2+2xy + y^2 \right) \sin \left( \theta(x, y) (x+y) \right)}
Από σημερινή εξέταση Απ. III σε κάποιο μαθηματικό τμήμα. Συμπαθητικό ερώτημα για να ξεφύγουμε και λίγο από το κλίμα των πανελληνίων.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1790
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπάρχει συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 13, 2018 1:51 pm

 \theta(x, y) (x+y)=f(x+y)
Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 12, 2018 6:36 pm
Να δειχθεί ότι υπάρχει συνάρτηση \theta:\mathbb{R}^2 \rightarrow [0, 1] για την οποία ισχύει:

\displaystyle{\sin (x+y) =  x+y - \frac{1}{2} \left( x^2+2xy + y^2 \right) \sin \left( \theta(x, y) (x+y) \right)}
Από σημερινή εξέταση Απ. III σε κάποιο μαθηματικό τμήμα. Συμπαθητικό ερώτημα για να ξεφύγουμε και λίγο από το κλίμα των πανελληνίων.
Η σχέση γράφεται
\displaystyle{\sin (x+y) =  x+y - \frac{1}{2} \left( x+y \right)^2 \sin \left( \theta(x, y) (x+y) \right)}
Θα δείξουμε ότι

 \theta(x, y) =f(x+y) όπου f:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]



Από ανάπτυγμα Taylor έχουμε \sin t=t-\frac{1}{2}t^{2}\sin \xi (t)

οπου το \xi (t) είναι μεταξύ του 0 και t και \xi (0)=0 .

Λόγω περιοδικότητας το \xi (t) είναι μοναδικό αν το περιορίσουμε στο [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]


Θέτουμε f(t)=\dfrac{\xi (t)}{t},t\neq 0,f(0)=0

Επειδή για t\neq 0

είναι 0<\xi (t)<t ,\veebar -t<\xi (t)<0

βλέπουμε ότι \left | f(t) \right |< 1

Προφανώς η  \theta(x, y) =f(x+y)

είναι αυτή που θέλουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης