Ρυθμός μεταβολής σε συνάρτηση δύο μεταβλητών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

dimitris0101
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm

Ρυθμός μεταβολής σε συνάρτηση δύο μεταβλητών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris0101 » Κυρ Ιουν 10, 2018 9:22 pm

Καλησπέρα ,
Λύνω μια άσκηση η οποία σε ένα ερώτημα ζητά <<Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του οποίου ο ρυθμός μεταβολής των τιμών της f στο σημείο (1,1) είναι ο μέγιστος δυνατός >>. Έχω βρεί τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής αλλά δεν μπορώ να καταλάβω πως βρίσκω το μοναδιαίο διάνυσμα που ζητείται και πως αξιοποιώ την απαίτηση του <<μέγιστου δυνατού>> .
Ευχαριστώ εκ των προτέρων .



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 154
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ρυθμός μεταβολής σε συνάρτηση δύο μεταβλητών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Ιουν 10, 2018 9:39 pm

dimitris0101 έγραψε:
Κυρ Ιουν 10, 2018 9:22 pm
Καλησπέρα ,
Λύνω μια άσκηση η οποία σε ένα ερώτημα ζητά <<Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του οποίου ο ρυθμός μεταβολής των τιμών της f στο σημείο (1,1) είναι ο μέγιστος δυνατός >>. Έχω βρεί τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής αλλά δεν μπορώ να καταλάβω πως βρίσκω το μοναδιαίο διάνυσμα που ζητείται και πως αξιοποιώ την απαίτηση του <<μέγιστου δυνατού>> .
Ευχαριστώ εκ των προτέρων .
Υπόδειξη: Αν \vec{a}\neq \vec{0} το \frac{\vec{a}}{\left \| \vec{a} \right \|} είναι μοναδιαίο.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2654
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ρυθμός μεταβολής σε συνάρτηση δύο μεταβλητών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιουν 10, 2018 9:46 pm

dimitris0101 έγραψε:
Κυρ Ιουν 10, 2018 9:22 pm
Καλησπέρα ,
Λύνω μια άσκηση η οποία σε ένα ερώτημα ζητά <<Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του οποίου ο ρυθμός μεταβολής των τιμών της f στο σημείο (1,1) είναι ο μέγιστος δυνατός >>. Έχω βρεί τον ζητούμενο ρυθμό μεταβολής αλλά δεν μπορώ να καταλάβω πως βρίσκω το μοναδιαίο διάνυσμα που ζητείται και πως αξιοποιώ την απαίτηση του <<μέγιστου δυνατού>> .
Ευχαριστώ εκ των προτέρων .
Αυτή είναι μια γνωστή πρόταση: Ο μέγιστος δυνατός ρυθμός μεταβολής των τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης f διανυσματικής μεταβλητής \vec{x}\in\mathbb{R}^n στο τυχόν σημείο \vec{x}_0 επιτυγχάνεται στην διεύθυνση ({\rm{grad}}\,f)(\vec{x}_0). ( Για να είναι μοναδιαίο αρκεί να διαιρέσουμε με το μέτρο του, εφ' όσον ({\rm{grad}}\,f)(\vec{x}_0)\neq\vec{0}).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dimitris0101
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Παρ Δεκ 15, 2017 5:19 pm

Re: Ρυθμός μεταβολής σε συνάρτηση δύο μεταβλητών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris0101 » Δευ Ιουν 11, 2018 1:17 am

Άρα ουσιαστικά βρίσκω το μοναδιαίο διάνυσμα της παραγώγου της f στο σημείο που μου δίνεται . Και εάν μου ζητείται ο ελάχιστος δυνατός ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης σε ένα σημείο , είναι το μοναδίαιο διάνυσμα του αντίθετου διανύσματος της παραγώγου της f στο σημείο αυτό. Σωστός ;


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2654
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Ρυθμός μεταβολής σε συνάρτηση δύο μεταβλητών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Ιουν 11, 2018 3:33 am

dimitris0101 έγραψε:
Δευ Ιουν 11, 2018 1:17 am
Άρα ουσιαστικά βρίσκω το μοναδιαίο διάνυσμα της παραγώγου της f στο σημείο που μου δίνεται . Και εάν μου ζητείται ο ελάχιστος δυνατός ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης σε ένα σημείο , είναι το μοναδίαιο διάνυσμα του αντίθετου διανύσματος της παραγώγου της f στο σημείο αυτό. Σωστός ;
"... ο ελάχιστος δυνατός ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης σε ένα σημείο, είναι στην διεύθυνση του αντίθετου διανύσματος της παραγώγου της f στο σημείο αυτό..."

Ναι. Αφού για ({\rm{grad}}f)(\vec{x})\neq\vec{0}, ο ρυθμός μεταβολής της f στο σημείο \vec{x} και στην διεύθυνση του μοναδιαίου \vec{u} ισούται με {\bf{D}}_{\vec{u}}f(\vec{x})=\|({\rm{grad}}f)(\vec{x})\|\cos\varphi, όπου \varphi η γωνία που σχηματίζουν τα ({\rm{grad}}f)(\vec{x}) και \vec{u}.

Παρατήρηση: Αν ({\rm{grad}}f)(\vec{x})=\vec{0}, τότε το παραπάνω δεν ισχύει πάντοτε. Σε αυτήν την περίπτωση το \vec{x} είναι ένα κρίσιμο σημείο της f και πρέπει να μελετήσουμε τον ρυθμό μεταβολής στις διάφορες διευθύνσεις.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης