Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο
ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω συνεχής. Ὁρίζομε τὴν ἀναδρομικὴ ἀκολουθία , ὅπου , αὐθαιρέτως ἐπιλεγέν. Ἂν , τότε δείξατε ὅτι ἡ συγκλίνει.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο
Υποθέτουμε προς άτοπο ότι αυτό δεν ισχύει. Αφού η ακολουθία είναι φραγμένη θα έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά υπακολουθιακά όρια, έστω τα .
Από την συνέχεια της κάθε υπακολουθιακό όριο είναι σταθερό σημείο. [Αν , τότε . Αν όμως , έστω , τότε για κάθε αρκετά μεγάλο , άτοπο.]
Ισχυρίζομαι ότι κάθε είναι επίσης υπακολουθιακό όριο της : Θα δείξω ότι για κάθε και κάθε υπάρχει ώστε . Αν δεν ισχύει αυτό τότε για κάθε θα έχουμε ή . Επίσης παίρνοντας ώστε για κάθε , βλέπουμε ότι για κάθε θα έχουμε ή για κάθε θα έχουμε . Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο αφού τα είναι υπακολουθιακά όρια.
Έχω λοιπόν ότι για κάθε . Αυτό όμως είναι άτοπο: Παίρνω και αφού το είναι υπακολουθιακό όριο θα υπάρχει και ώστε . Τότε όμως για κάθε και άρα η ακολουθία από ένα σημείο και μετά είναι σταθερή και δεν έχει τα ως υπακολουθιακά όρια.
Κάπου την έχω δει πρόσφατα αλλά δεν θυμάμαι που.
Από την συνέχεια της κάθε υπακολουθιακό όριο είναι σταθερό σημείο. [Αν , τότε . Αν όμως , έστω , τότε για κάθε αρκετά μεγάλο , άτοπο.]
Ισχυρίζομαι ότι κάθε είναι επίσης υπακολουθιακό όριο της : Θα δείξω ότι για κάθε και κάθε υπάρχει ώστε . Αν δεν ισχύει αυτό τότε για κάθε θα έχουμε ή . Επίσης παίρνοντας ώστε για κάθε , βλέπουμε ότι για κάθε θα έχουμε ή για κάθε θα έχουμε . Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο αφού τα είναι υπακολουθιακά όρια.
Έχω λοιπόν ότι για κάθε . Αυτό όμως είναι άτοπο: Παίρνω και αφού το είναι υπακολουθιακό όριο θα υπάρχει και ώστε . Τότε όμως για κάθε και άρα η ακολουθία από ένα σημείο και μετά είναι σταθερή και δεν έχει τα ως υπακολουθιακά όρια.
Κάπου την έχω δει πρόσφατα αλλά δεν θυμάμαι που.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες