Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 553
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Πέμ Ιουν 07, 2018 6:10 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω f:[0,1]\to[0,1] συνεχής. Ὁρίζομε τὴν ἀναδρομικὴ ἀκολουθία x_{n+1}=f(x_n), ὅπου x_0\in [0,1], αὐθαιρέτως ἐπιλεγέν. Ἂν x_{n+1}-x_n\to 0, τότε δείξατε ὅτι ἡ \{x_n\} συγκλίνει.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8259
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιουν 08, 2018 10:37 am

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι αυτό δεν ισχύει. Αφού η ακολουθία είναι φραγμένη θα έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά υπακολουθιακά όρια, έστω τα x < y.

Από την συνέχεια της f κάθε υπακολουθιακό όριο είναι σταθερό σημείο. [Αν (x_{n_i}) \to z, τότε (x_{n_i+1}) = (f(x_{n_i})) \to f(z). Αν όμως f(z) \neq z, έστω |f(z) - z| = 2\ell > 0, τότε |x_{n_i+1} - x_{n_i}| > \ell για κάθε αρκετά μεγάλο i, άτοπο.]

Ισχυρίζομαι ότι κάθε z \in (x,y) είναι επίσης υπακολουθιακό όριο της f: Θα δείξω ότι για κάθε N και κάθε \varepsilon > 0 υπάρχει n > N ώστε |x_n - z| < \varepsilon. Αν δεν ισχύει αυτό τότε για κάθε n > N θα έχουμε x_n \leqslant z -\varepsilon < y - \varepsilon ή x_n \geqslant z + \varepsilon > x+ \varepsilon. Επίσης παίρνοντας N' > N ώστε |x_{n+1} - x_n| < 2\varepsilon για κάθε n > N', βλέπουμε ότι για κάθε n > N' θα έχουμε x_n \leqslant z -\varepsilon < y - \varepsilon ή για κάθε n > N' θα έχουμε x_n \geqslant z + \varepsilon > x+ \varepsilon. Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο αφού τα x,y είναι υπακολουθιακά όρια.

Έχω λοιπόν ότι f(z) = z για κάθε z \in [x,y]. Αυτό όμως είναι άτοπο: Παίρνω z \in (x,y) και αφού το z είναι υπακολουθιακό όριο θα υπάρχει w \in [x,y] και n \in \mathbb{N} ώστε x_n = w. Τότε όμως x_m = w για κάθε m \geqslant n και άρα η ακολουθία από ένα σημείο και μετά είναι σταθερή και δεν έχει τα x,y ως υπακολουθιακά όρια.

\rule{300pt}{0.5pt}

Κάπου την έχω δει πρόσφατα αλλά δεν θυμάμαι που.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες