Σύγκλιση

mikemoke · #1

Έστω συνεχής συναρτήσεις $f,g : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ .
$\exists c>0 :0<f(x)<cg(x) \forall x\in(0,1)$ .

Ορίζουμε την ακολουθία (A_n)

$\displaystyle{A_n=\frac{1}{n^n}\sum_{i_n=1}^{n}...\sum_{i_1=1}^{n}\frac{f(x_{i_1})+...+f(x_{i_n})}{g(x_{i_1})+...+g(x_{i_n})} \forall n\in \mathbb{N}}$

όπου $x_1=\frac{1}{n} ,x_2=\frac{2}{n},...,x_{n-1}=\frac{n-1}{n},x_n=1$

Να εξεταστεί αν ισχύει ότι : $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}A_n=\frac{\int_{0}^{1}f(x)dx}{\int_{0}^{1}g(x)dx}}$

Δεν έχω λύση.

Tolaso J Kos · #2

mikemoke έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:08 pm
Έστω συνεχής συναρτήσεις $f,g : [0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ .
$\exists c>0 :0<f(x)<cg(x) \forall x\in(0,1)$ .

Ορίζουμε την ακολουθία
$\displaystyle{A_n=\frac{1}{n^n}\sum_{i_n=1}^{n}...\sum_{i_1=1}^{n}\frac{f(x_{i_1})+...+f(x_{i_n})}{g(x_{i_1})+...+g(x_{i_n})} \forall n\in \mathbb{N}}$

όπου $x_1=\frac{1}{n} ,x_2=\frac{2}{n},...,x_{n-1}=\frac{n-1}{n},x_n=1$

Να εξεταστεί αν ισχύει ότι : $\displaystyle{\lim_{n \to \infty}A_n=\frac{\int_{0}^{1}f(x)dx}{\int_{0}^{1}g(x)dx}}$

Δεν έχω λύση.

Νομίζω απαντάει στο ερώτημα.

Σύγκλιση

Σύγκλιση

Re: Σύγκλιση

Μέλη σε σύνδεση