Διάταξη

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Διάταξη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μάιος 25, 2018 11:19 am

Να διατάξετε τους αριθμούς

\displaystyle{\gamma^{\sqrt{\pi e}} \quad , \quad \pi^{\sqrt{e \gamma}} \quad , \quad e^{\sqrt{\gamma \pi}}}
όπου \gamma η σταθερά Euler - Mascheroni.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Διάταξη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Μάιος 25, 2018 11:58 am

Η σταθερά \gamma είναι η μόνη μικρότερη της μονάδας, όπερ κατατάσσει αυτόματα τον \gamma^{\sqrt{\pi e}} ως τον μικρότερο.

Για τους άλλους δύο, αρκεί να συγκρίνουμε τους \pi^{\sqrt{e}}, e^{\sqrt{\pi}} (λόγω μονοτονίας). Η συνάρτηση \displaystyle \frac{\ln x}{\sqrt{x}} έχει μέγιστο στο e^2 και, αφού e < \pi < e^2, ισχύει:

\displaystyle \frac{\ln e}{\sqrt{e}} < \frac{\ln \pi}{\sqrt{\pi}} \implies e^{\sqrt{\pi}} < \pi^{\sqrt{e}} \implies e^{\sqrt{\gamma \pi}} < \pi^{\sqrt{\gamma e}}

Άρα \gamma^{\sqrt{\pi e}} < e^{\sqrt{\gamma \pi}} < \pi^{\sqrt{\gamma e}}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8249
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διάταξη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μάιος 25, 2018 12:03 pm

Θεωρώ την συνάρτηση f:(0,e^2) \to \mathbb{R} με τύπο f(x) = x^{1/\sqrt{x}} = e^{\log{x}/\sqrt{x}}. Έχουμε \displaystyle  f'(x)  = \frac{1}{x\sqrt{x}}\left(1 - \frac{\log{x}}{2} \right)e^{\frac{\log{x}}{\sqrt{x}}}

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Έχουμε 0 < \gamma < e < \pi < e^2. Άρα f(\gamma) < f(e) που δίνει \gamma^{\sqrt{e}} < e^{\sqrt{\gamma}} και άρα \gamma^{\sqrt{\pi e}} < e^{\sqrt{\gamma \pi}}. [Η συγκεκριμένη είναι προφανής ούτως ή άλλως αφού \gamma < 1 < e.]

Ομοίως παίρνουμε και e^{\sqrt{\gamma \pi}} < \pi^{\sqrt{e\gamma}}.

:oops: Δεν πρόσεξα ότι με πρόλαβε ο Δημήτρης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες