άσκηση ανάλυσης

v2gls · #1

Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε $I :X\rightarrow \mathbf{R}$ συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
$I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\ \}$ και $A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}$
Να δειχθεί ότι $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες για το πως μπορώ να το δείξω;
Και αν δεν ισχύει τι επιπλέον υπόθεση θα χρειαζόμουν ώστε να ισχύει ;

#2

v2gls έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 18, 2018 6:59 pm
Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε $I :X\rightarrow \mathbf{R}$ συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
$I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\ \}$ και $A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}$
Να δειχθεί ότι $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες για το πως μπορώ να το δείξω;
Και αν δεν ισχύει τι επιπλέον υπόθεση θα χρειαζόμουν ώστε να ισχύει ;

Δεν ισχύει ούτε για συνεχείς. Π.χ. έστω η συνάρτηση που είναι

σε όλα τα $\mathbb N$ και 1/n

στους ημιακέραιους n+1/2

, τέλος είναι ευθεία στα ενδιάμεσα, όπως στο σχήμα. Εδώ $I_{min}= \mathbb N$ . Τώρα, για $\epsilon = 1/3$ το $A_\epsilon$ είναι ό,τι απέχει πάνω από 1/3

από το $I_{min}$ (στο σχήμα σημείωσα με κόκκινο ό,τι απέχει το πολύ 1/3

από το $I_{min}$ ). Είναι φανερό ότι το infimum της συνάρτησης στο $A_\epsilon$ είναι το πολύ 1/n

για κάθε

. Άρα το infimum είναι

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

v2gls έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 18, 2018 6:59 pm
Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε $I :X\rightarrow \mathbf{R}$ συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
$I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\ \}$ και $A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}$
Να δειχθεί ότι $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες για το πως μπορώ να το δείξω;
Και αν δεν ισχύει τι επιπλέον υπόθεση θα χρειαζόμουν ώστε να ισχύει ;

Ετσι όπως είναι το $\inf_{A_\epsilon}(I)$ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός.

Πάμε πάνω κάτω την συνάρτηση που έφτιαξε ο Μιχάλης.

Επίσης αν ο

δεν είναι συμπαγής το $I_{min}$ μπορεί να είναι κενό οπότε τα
παρακάτω είναι ανευ νοήματος.

Αν ξεκινήσουμε ότι θέλουμε να ισχύει το $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$
τότε μια πιθανή διατύπωση θα ήταν:

Εστω (X,d)

συμπαγής μετρικός χώρος και

$f:X\rightarrow [0,\infty ]$ κάτω ημισυνεχής συνάρτηση.

Αν $I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\ \}$ και $A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}$

τότε $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$

v2gls · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις απαντήσεις σας. Πολύ βοηθητικές.
Κ.Παπαδόπουλε κατάφερα να το αποδείξω για την εναλλακτική διατύπωση που προτείνετε. Πράγματι η συμπάγεια είναι βασική ιδιότητα.
(ωστόσο στο κείμενο που διαβάζω έχω κάτι λίγο πιο ασθενές αλλά αρκετό για να δείξω ότι το $I_{min}$ είναι μη κενό)
Σίγουρα η συνάρτηση στο δικό μου παράδειγμα παίρνει τιμές στους πραγματικούς. Δεν είναι μη-αρνητική. Ίσως τελικά και να
υπάρχει κάποιο τυπογραφικό.

#5

v2gls έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 19, 2018 12:52 am
Σίγουρα η συνάρτηση στο δικό μου παράδειγμα παίρνει τιμές στους πραγματικούς. Δεν είναι μη-αρνητική. Ίσως τελικά και να
υπάρχει κάποιο τυπογραφικό.

Κάτι δεν λες καλά.

Αν η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές τότε δεν έχει νόημα να ρωτάς αν ισχύει $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$

Για ποιο τυπογραφικό μιλάς; Από που είναι η άσκηση;

άσκηση ανάλυσης

άσκηση ανάλυσης

Re: άσκηση ανάλυσης

Re: άσκηση ανάλυσης

Re: άσκηση ανάλυσης

Re: άσκηση ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση