άσκηση ανάλυσης

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

άσκηση ανάλυσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Παρ Μάιος 18, 2018 6:59 pm

Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε  I :X\rightarrow \mathbf{R} συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\  \} και A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}
Να δειχθεί ότι \inf_{A_\epsilon}(I) > 0
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες για το πως μπορώ να το δείξω;
Και αν δεν ισχύει τι επιπλέον υπόθεση θα χρειαζόμουν ώστε να ισχύει ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12987
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: άσκηση ανάλυσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 18, 2018 8:35 pm

v2gls έγραψε:
Παρ Μάιος 18, 2018 6:59 pm
Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε  I :X\rightarrow \mathbf{R} συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\  \} και A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}
Να δειχθεί ότι \inf_{A_\epsilon}(I) > 0
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες για το πως μπορώ να το δείξω;
Και αν δεν ισχύει τι επιπλέον υπόθεση θα χρειαζόμουν ώστε να ισχύει ;
Δεν ισχύει ούτε για συνεχείς. Π.χ. έστω η συνάρτηση που είναι 0 σε όλα τα \mathbb N και 1/n στους ημιακέραιους n+1/2, τέλος είναι ευθεία στα ενδιάμεσα, όπως στο σχήμα. Εδώ I_{min}= \mathbb N. Τώρα, για \epsilon = 1/3 το A_\epsilon είναι ό,τι απέχει πάνω από 1/3 από το I_{min} (στο σχήμα σημείωσα με κόκκινο ό,τι απέχει το πολύ 1/3 από το I_{min}). Είναι φανερό ότι το infimum της συνάρτησης στο A_\epsilon είναι το πολύ 1/n για κάθε n. Άρα το infimum είναι 0.
Συνημμένα
synartisi inf.png
synartisi inf.png (4.47 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: άσκηση ανάλυσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 18, 2018 9:52 pm

v2gls έγραψε:
Παρ Μάιος 18, 2018 6:59 pm
Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε  I :X\rightarrow \mathbf{R} συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\  \} και A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}
Να δειχθεί ότι \inf_{A_\epsilon}(I) > 0
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες για το πως μπορώ να το δείξω;
Και αν δεν ισχύει τι επιπλέον υπόθεση θα χρειαζόμουν ώστε να ισχύει ;
Ετσι όπως είναι το \inf_{A_\epsilon}(I) μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός.

Πάμε πάνω κάτω την συνάρτηση που έφτιαξε ο Μιχάλης.

Επίσης αν ο X δεν είναι συμπαγής το I_{min} μπορεί να είναι κενό οπότε τα
παρακάτω είναι ανευ νοήματος.


Αν ξεκινήσουμε ότι θέλουμε να ισχύει το \inf_{A_\epsilon}(I) > 0
τότε μια πιθανή διατύπωση θα ήταν:

Εστω (X,d) συμπαγής μετρικός χώρος και

f:X\rightarrow [0,\infty ] κάτω ημισυνεχής συνάρτηση.

Αν I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\  \} και A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}

τότε \inf_{A_\epsilon}(I) > 0


v2gls
Δημοσιεύσεις: 30
Εγγραφή: Τετ Δεκ 16, 2015 9:39 pm

Re: άσκηση ανάλυσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από v2gls » Σάβ Μάιος 19, 2018 12:52 am

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις απαντήσεις σας. Πολύ βοηθητικές.
Κ.Παπαδόπουλε κατάφερα να το αποδείξω για την εναλλακτική διατύπωση που προτείνετε. Πράγματι η συμπάγεια είναι βασική ιδιότητα.
(ωστόσο στο κείμενο που διαβάζω έχω κάτι λίγο πιο ασθενές αλλά αρκετό για να δείξω ότι το I_{min} είναι μη κενό)
Σίγουρα η συνάρτηση στο δικό μου παράδειγμα παίρνει τιμές στους πραγματικούς. Δεν είναι μη-αρνητική. Ίσως τελικά και να
υπάρχει κάποιο τυπογραφικό.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12987
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: άσκηση ανάλυσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Μάιος 19, 2018 9:53 am

v2gls έγραψε:
Σάβ Μάιος 19, 2018 12:52 am
Σίγουρα η συνάρτηση στο δικό μου παράδειγμα παίρνει τιμές στους πραγματικούς. Δεν είναι μη-αρνητική. Ίσως τελικά και να
υπάρχει κάποιο τυπογραφικό.
Κάτι δεν λες καλά.

Αν η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιμές τότε δεν έχει νόημα να ρωτάς αν ισχύει \inf_{A_\epsilon}(I) > 0

Για ποιο τυπογραφικό μιλάς; Από που είναι η άσκηση;


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης