Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f, g:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε να υπάρχει c >0

με

για κάθε $x \in (0, 1)$ . Δείξατε ότι:

$\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{g(x_1)+\cdots+g(x_n)} \, \mathrm{d}(x_1, \dots, x_n) = \left ( \int_{0}^{1} g(x) \, \mathrm{d}x \right )^{-1} \left ( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right )}$
Πρέπει να είναι γνωστή άσκηση εκτός και αν τη μπερδεύω με κάποια άλλη αλλά πρέπει να την έχω δει κάπου ... Τέλος πάντων, ενδιαφέρουσα είναι ας τη δούμε.

dement · #2

Οι συναρτήσεις f,g

είναι συνεχείς και, ως εκ τούτου, μετρήσιμες και φραγμένες στο [0,1]

.

Ονομάζουμε:
1. $\displaystyle I_f \equiv \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x$
2. $\displaystyle I_g \equiv\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x$
3. $\displaystyle \mathcal{F}_n (\delta) \equiv \left\{ (x_1, ..., x_n) \in [0,1]^n : \left| \frac{f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)}{n} - I_f \right| \geqslant \delta \right\}$
4. $\displaystyle \mathcal{G}_n (\delta) \equiv \left\{ (x_1, ..., x_n) \in [0,1]^n : \left| \frac{g(x_1) + g(x_2) + ... + g(x_n)}{n} - I_g \right| \geqslant \delta \right\}$
5. $\displaystyle R_n \equiv \left| \int_0^1 \cdot \cdot \cdot \int_0^1 \frac{f(x_1) + ... f(x_n)}{g(x_1) + ... g(x_n)} \mathrm{d}(x_1,...x_n) - \frac{I_f}{I_g} \right|$

Σύμφωνα με το θεώρημα του κεντρικού ορίου, για κάθε $\delta > 0$ ισχύει $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \mu \left( \mathcal{F}_n (\delta) \right) = \lim_{n \to \infty} \mu \left( \mathcal{G}_n (\delta) \right) = 0$ .

Όταν $|f(x) - I_f| \leqslant \delta, \ |g(x) - I_g| \leqslant \delta$ για $\displaystyle \delta \leqslant \frac{I_g}{2}$ , ισχύει $\displaystyle \left|\frac{f(x_1) + ... + f(x_n)}{g(x_1) + ... + g(x_n)} - \frac{I_f}{I_g} \right| = \left|\frac{1/n (f(x_1) + ... + f(x_n))}{1/n (g(x_1) + ... + g(x_n))} - \frac{I_f}{I_g} \right| =$

$\displaystyle = \left| \frac{(\overline{f(x)} - I_f) I_g + I_f (I_g - \overline{g(x)})}{I_g \overline{g(x)}} \right| \leqslant \frac{2 (M_f + M_g) \delta}{I_g^2}$ , όπου $M_f = \max f(x), \ M_g = \max g(x)$ .

Έτσι, έχουμε $\displaystyle 0 \leqslant R_n \leqslant \frac{2 (M_f + M_g) \delta}{I_g^2} + \left( c + \frac{I_f}{I_g} \right) \mu \left( \mathcal{F}_n (\delta) \cup \mathcal{G}_n (\delta) \right) \implies$ (παίρνοντας $n \to \infty$ )

$\displaystyle \implies 0 \leqslant \liminf_{n \to \infty} R_n \leqslant \limsup_{n \to \infty} R_n \leqslant \frac{2 (M_f + M_g) \delta}{I_g^2}$ . Αφού το $\delta > 0$ είναι αυθαίρετο, έπεται $\displaystyle \lim_{n \to \infty} R_n = 0$ .

Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Re: Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση