ΝΟΣΤΑΛΓΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η ακολουθία

$a_{n}=\displaystyle \frac{n^{2}+\sqrt[n]{3^{n}+3^{n^{2}+1}}}{\sqrt{3^{2n+1}+n\cdot 3^{n}}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2018 1:10 pm
Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η ακολουθία

$a_{n}=\displaystyle \frac{n^{2}+\sqrt[n]{3^{n}+3^{n^{2}+1}}}{\sqrt{3^{2n+1}+n\cdot 3^{n}}}$

Θα χρησιμοποιήσω το σύμβολο $"\sim "$ για την ασυμπτωτική ισότητα ακολουθιών, ήτοι $a_n\sim b_n\Leftrightarrow \frac{a_n}{b_n}\rightarrow 1.$

Είναι $3^{n}+3^{n^{2}+1} \sim 3^{n^{2}+1 }=3 \cdot 3^{n^{2} }$ και $3^{2n+1}+n\cdot 3^{n}\sim 3^{2n+1}=3\cdot (3^n)^2$ .

Άρα $a_{n}\sim \frac{n^2+\sqrt[n]{3}\sqrt[n]{3^{n^2}}}{\sqrt{3\cdot (3^n)^2}} =\frac{n^2+\sqrt[n]{3}\cdot 3^n}{\sqrt{3}\cdot 3^n}=\frac{n^2}{\sqrt{3}\cdot 3^n}+\frac{\sqrt[n]{3}\cdot 3^n}{\sqrt{3}\cdot 3^n}\rightarrow 0+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2018 1:10 pm
Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η ακολουθία

$a_{n}=\displaystyle \frac{n^{2}+\sqrt[n]{3^{n}+3^{n^{2}+1}}}{\sqrt{3^{2n+1}+n\cdot 3^{n}}}$

Σχεδόν το ίδιο αλλά με πιο σχολική ύλη (εννοώ: πάλλαι ποτέ σχολική):

$a_{n}\le \displaystyle \frac{n^{2}+\sqrt[n]{2\cdot 3^{n^2+1} } }{\sqrt{3^{2n+1}}} = \frac {n^2}{\sqrt 3 \cdot 3^n} + \sqrt [n]2\cdot \frac {3^ {1/n } }{3^ {1/2 } } \to 0+ \frac {1}{\sqrt 3 }$

και

$a_{n}\ge \displaystyle \frac{\sqrt[n]{3^{n^2+1} } }{\sqrt{3^{2n+1}+ n3^{n}} }= \frac { 3^{n+1/n} } { \sqrt{3^{2n+1}} \sqrt {1+ \frac {n}{3^{n+1}} } } = \frac { 3^{1/n} } { 3^{1/2} \sqrt {1+ \frac {n}{3^{n+1}} } } \to \frac {1}{\sqrt 3 }$

Από ισοσυγκλίνουσες, το ζητούμενο όριο είναι $\frac {1}{\sqrt 3 }$ .

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 13, 2018 6:09 pm
(εννοώ: πάλλαι ποτέ σχολική)

Kρίμα που η ύλη των ακολουθιών δε διδάσκεται πια...

ΝΟΣΤΑΛΓΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

ΝΟΣΤΑΛΓΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

Re: ΝΟΣΤΑΛΓΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

Re: ΝΟΣΤΑΛΓΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

Re: ΝΟΣΤΑΛΓΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

Μέλη σε σύνδεση