Σελίδα 1 από 1

Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μάιος 11, 2018 1:10 pm
από Tolaso J Kos
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}(x, y,z)}{ \ln x + \ln y + \ln z} = - \frac{1}{2}}

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 21, 2019 10:10 pm
από Tolaso J Kos
Επαναφορά!!!

Re: Λογαριθμικό ολοκλήρωμα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 22, 2019 12:15 am
από Λάμπρος Κατσάπας
Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Μάιος 11, 2018 1:10 pm
Να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}(x, y,z)}{ \ln x + \ln y + \ln z} = - \frac{1}{2}}
Τόλη γεια. Ας εφαρμόσουμε ένα γνωστό κόλπο (π.χ. όπως στο \displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{dx})

Είναι \displaystyle \int_{0}^{\infty }e^{xs}dx=-\dfrac{1}{s},(s<0). Άρα το ολοκλήρωμά μας I γράφεται

\displaystyle -\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left (\int_{0}^{\infty }e^ {(\ln x + \ln y + \ln z)s}\mathrm{ds} \right )\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}

\displaystyle-\int_{0}^{\infty }\left (\int_{0}^{1}e^ {\ln x s} \mathrm{dx} \right )^3\mathrm{ds}= -\int_{0}^{\infty }\left (\frac{1}{1+s} \right )^3\mathrm{ds}=-\frac{1}{2}.

Οι εναλλαγές είναι επιτρεπτές (άσκηση για εσένα όχι για τον αναγνώστη! :lol: :lol: )