Υπολογισμός σειράς

#1

Να υπολογισθεί η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)(2n-1)}$

Tolaso J Kos · #2

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 08, 2018 9:49 pm
Να υπολογισθεί η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)(2n-1)}$

Γρηγόρη,

το αποτέλεσμα περιέχει τη συνάρτηση erfi ; Διότι αυτή βγάζω.

Σημείωση: Κρίμα, και νόμισα θα πέσω πάνω στα Catalan.

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 08, 2018 11:30 pm
το αποτέλεσμα περιέχει τη συνάρτηση erfi ; Διότι αυτή βγάζω.

Υπόδειξη: Η απάντηση είναι $\frac {1}{2}$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

grigkost έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 08, 2018 9:49 pm
Να υπολογισθεί η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)(2n-1)}$

Ισχύει $\lim_{m\rightarrow \infty }\prod_{n=1}^{m}(2n-1)=+\infty .$

Αν με s_m

συμβολίσουμε τα μερικά αθροίσματα τότε ισχύει $s_{2k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2k}(2n-1)}$ (1)

και $s_{2k+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2k+1}(2n-1)}.$ (2)

Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή. Για την (1)

έχουμε:

Για k=1

ισχύει αφού $s_{2}= \sum_{n=1}^{2}\frac{(-1)^{n+1}n}{1\cdot3\cdot5\cdot(2n-3)(2n-1)} = \frac{1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2}(2n-1)}.$

Αν ισχύει για k=s

θα δείξουμε ότι ισχύει για k=s+1

.

Πράγματι $s_{2(s+1)}=s_{2s}+a_{2s+1}+a_{2s+2} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2s}(2n-1)}+ \frac{2s+1}{\prod_{n=1}^{2s+1}(2n-1)} -\frac{2s+2}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)} =$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{(2(2s+1)-1)(2(2s+2)-1)}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)}+ \frac{(2s+1)(2(2s+2)-1)}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)} -\frac{2s+2}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)} =$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{(4s+1)(4s+3)}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)}+ \frac{(2s+1)(4s+3)}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)} -\frac{2s+2}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)} =$

$=...= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2s+2}(2n-1)}$ .

Όμοια δείχνουμε τη (2)

.

Οι

και

αποδεικνύουν ότι η σειρά συγκλίνει στο $\frac{1}{2}.$

#5

Μια δεύτερη λύση, στο ίδιο "μήκος κύματος":

$\begin{aligned} S_{2n}-\frac{1}{3}&=\mathop{\sum}\limits_{\kappa=3}^{2n}\frac{(-1)^{\kappa+1}\,\kappa}{{\prod}_{j=1}^{\kappa}(2j-1)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{(-1)^{2\lambda-1+1}\,(2\lambda-1)}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}+\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{(-1)^{2\lambda+1}\,2\lambda}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda}(2j-1)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{2\lambda-1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}-\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{2\lambda}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda}(2j-1)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{(2(2\lambda-1)-1)+1}{(2(2\lambda-1)-1)\,{\prod}_{j=1}^{2\lambda-2}(2j-1)}-\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{(2(2\lambda)-1)+1}{(2(2\lambda)-1)\,{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\bigg(\frac{\cancel{2(2\lambda-1)-1}}{(\cancel{2(2\lambda-1)-1})\,{\prod}_{j=1}^{2\lambda-2}(2j-1)}+\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}\bigg)\,-\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\hspace{1.8cm} \frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\bigg(\frac{\cancel{2(2\lambda)-1}}{(\cancel{2(2\lambda)-1})\,{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}+\frac{1}{\,{\prod}_{j=1}^{2\lambda}(2j-1)}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-2}(2j-1)}+\cancel{\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}}\,-\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\hspace{1.8cm} \cancel{\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-1}(2j-1)}}-\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda}(2j-1)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=2}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-2}(2j-1)}-\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\mu=3}^{n+1}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\mu-2}(2j-1)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{6}+\cancel{\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\lambda=3}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\lambda-2}(2j-1)}}-\cancel{\frac{1}{2}\mathop{\sum}\limits_{\mu=3}^{n}\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2\mu-2}(2j-1)}}\,-\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\hspace{6.2cm}\frac{1}{2}\,\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2n}(2j-1)}\qquad\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.1cm}} S_{2n}&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2n}(2j-1)}\,. \end{aligned}$
Όμοια προκύπτει ότι

$\begin{aligned} S_{2n-1}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\frac{1}{{\prod}_{j=1}^{2n-1}(2j-1)}\,. \end{aligned}$
Επομένως

$\begin{aligned} \mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-3)(2n-1)}&=\mathop{\lim}\limits_{{n}\to+\infty}S_{2n}=\mathop{\lim}\limits_{{n}\to+\infty}S_{2n-1}=\frac{1}{2}\,. \end{aligned}$

Λάμπρος Κατσάπας · #6

Να συμπληρώσω μόνο πως κατέληξα στις σχέσεις $s_{2k}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2k}(2n-1)}$ $,s_{2k+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\prod_{n=1}^{2k+1}(2n-1)}.$

Υπολογίζουμε τα πρώτα μερικά αθροίσματα (δεν χρειάζεται πολλά) από τα οποία παίρνουμε σαν αποτέλεσμα ένα κλάσμα με παρονομαστή το ΕΚΠ των

παρονομαστών που προφανώς είναι το $\prod_{n=1}^{m}(2n-1)$ και αριθμητή τον

παρονομαστή $\pm 1)/2$ .

Μετά γράφουμε $\frac{\frac{\prod_{n=1}^{m}(2n-1)\pm 1}{2}}{\prod_{n=1}^{m}(2n-1)} =\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\frac{1}{\prod_{n=1}^{m}(2n-1)}$ και μένει να το αποδείξουμε ότι ισχύει γενικά.

Υπολογισμός σειράς

Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Re: Υπολογισμός σειράς

Μέλη σε σύνδεση