Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Μιας και σήμερα δεν υπάρχει ύπνος λέω να το πάω σερί και για τη καλημέρα μου στο Σεραφείμ, έχουμε και λέμε:
Σημείωση: Είναι: .
Πρόκειται ουσιαστικά για άθροισμα Riemann.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Από Euler - MacLaurin έχουμε:
Τότε:
και το αποτέλεσμα έπεται.
Έπεται από τον ίδιο τύπο. Ας το δούμε όμως. Σπεύδω να τονίσω ότι και το έπεται από το παραπάνω τύπο. Το αφήνω ως άσκηση.
Με ακριβώς την ίδια διαδικασία έπεται και το . Καλή σου μέρα Σεραφείμ.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Πράγματι η φόρμουλα Euler–Maclaurin το ξεφλουδίζει. Βέβαια, πρέπει να γίνει εκτίμηση σφάλματος, αλλά στην υπόψη συνάρτηση, ξεπερνιέται άμεσα. Μπράβο Τόλη.
Σεραφείμ Τσιπέλης
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Μπράβο ρε συ Λάμπρο.... και έλεγα έχω δει καλύτερο τρόπο από την Euler - MacLaurin.Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑Παρ Μάιος 04, 2018 7:52 amΤο (2) είναι άμεση εφαρμογή αυτού:
https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 67#p297467
Οπότε σύμφωνα με το λήμμα αυτό το αποτέλεσμα έπεται άμεσα.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Η απόδειξη των παραπάνω μπορεί να γίνει με ''στοιχειώδη'' Μαθηματικά.
Δηλαδή. Διωνυμικό ανάπτυγμα, επαγωγή, όριο ακολουθίας.
(οι πράξεις βέβαια είναι πολλές)
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Σεραφείμ,
θέλω να δω από πού το πήγες... Ένα μικρό περίγραμμα της λύσης θα μου αρκούσε. Υποθέτω δε χρησιμοποίησες το Euler - MacLaurin.
θέλω να δω από πού το πήγες... Ένα μικρό περίγραμμα της λύσης θα μου αρκούσε. Υποθέτω δε χρησιμοποίησες το Euler - MacLaurin.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Να δούμε το θέμα από μια άλλη σκοπιά.
Τέτοια ώστε να ανακαλύπτουμε και τους τύπους.
Ας δούμε στην αρχή πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα
Από δυωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε
Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση για στην θέση του
και προσθέτοντας παίρνουμε
η (*)
Επειδή
έχουμε ότι
Αν λοιπόν την (*) την διαιρέσουμε με
και πάρουμε
συμπεραίνουμε ότι (1)
Πήραμε την πρώτη σχέση.
Θα δούμε τώρα πως μπορούμε να ανακαλύψουμε την δεύτερη .
Η (1) μπορεί να γραφεί
(2)
οπου όταν .
Αντικαθιστώντας την (2) με στην θέση του στην (*)
έχουμε
Αναπτύσσοντας το παίρνουμε
όπου όταν
Ετσι συμπεραίνουμε την δεύτερη σχέση αφού
Με την ίδια λογική βρίσκουμε και τις άλλες και μάλιστα και πέρα από αυτές.
Τέτοια ώστε να ανακαλύπτουμε και τους τύπους.
Ας δούμε στην αρχή πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα
Από δυωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε
Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση για στην θέση του
και προσθέτοντας παίρνουμε
η (*)
Επειδή
έχουμε ότι
Αν λοιπόν την (*) την διαιρέσουμε με
και πάρουμε
συμπεραίνουμε ότι (1)
Πήραμε την πρώτη σχέση.
Θα δούμε τώρα πως μπορούμε να ανακαλύψουμε την δεύτερη .
Η (1) μπορεί να γραφεί
(2)
οπου όταν .
Αντικαθιστώντας την (2) με στην θέση του στην (*)
έχουμε
Αναπτύσσοντας το παίρνουμε
όπου όταν
Ετσι συμπεραίνουμε την δεύτερη σχέση αφού
Με την ίδια λογική βρίσκουμε και τις άλλες και μάλιστα και πέρα από αυτές.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Συνεχίζω να σκιαγραφήσω πώς προκύπτει η τρίτη σχέση.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μάιος 04, 2018 9:40 pmΝα δούμε το θέμα από μια άλλη σκοπιά.
Τέτοια ώστε να ανακαλύπτουμε και τους τύπους.
Ας δούμε στην αρχή πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα
Από δυωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε
Εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση για στην θέση του
και προσθέτοντας παίρνουμε
η (*)
Επειδή
έχουμε ότι
Αν λοιπόν την (*) την διαιρέσουμε με
και πάρουμε
συμπεραίνουμε ότι (1)
Πήραμε την πρώτη σχέση.
Θα δούμε τώρα πως μπορούμε να ανακαλύψουμε την δεύτερη .
Η (1) μπορεί να γραφεί
(2)
οπου όταν .
Αντικαθιστώντας την (2) με στην θέση του στην (*)
έχουμε
Αναπτύσσοντας το παίρνουμε
όπου όταν
Ετσι συμπεραίνουμε την δεύτερη σχέση αφού
Με την ίδια λογική βρίσκουμε και τις άλλες και μάλιστα και πέρα από αυτές.
Από την
παίρνουμε
και
οπου για
Αντικαθιστώντας τις προηγούμενες στην (*)
παίρνουμε την τρίτη σχέση
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Παρ Μάιος 04, 2018 11:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Ας γράψω και τη δικιά μου και ας μην είναι αρκετά όμορφη.
Για θεωρούμε Θα χρησιμοποιήσω τον συμβολισμό για το
Είναι
Τότε
Άρα
Για το αποτέλεσμα δεν ισχύει. Το όριο είναι . Στην πραγματικότητα η ακολουθία είναι η μηδενική.
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Ασυμπτωτική συμπεριφορά αθροίσματος.
Χαιρετώ τους φίλους.
Το θέμα έως και το δεύτερο ερώτημα, προέκυψε από απορία κάποιου φοιτητή του Μαθηματικού. Αρχικά το αντιμετώπισα με στοιχειώδη μέσα, όπως η λύση του Σταύρου παραπάνω (ανάπτυγμα Newton), οπότε μου προέκυψαν και τα επόμενα ερωτήματα.
Μετά σκέφτηκα την φόρμουλα Euler–Maclaurin, που το τελειώνει αμέσως !!
Το θέμα έως και το δεύτερο ερώτημα, προέκυψε από απορία κάποιου φοιτητή του Μαθηματικού. Αρχικά το αντιμετώπισα με στοιχειώδη μέσα, όπως η λύση του Σταύρου παραπάνω (ανάπτυγμα Newton), οπότε μου προέκυψαν και τα επόμενα ερωτήματα.
Μετά σκέφτηκα την φόρμουλα Euler–Maclaurin, που το τελειώνει αμέσως !!
Σεραφείμ Τσιπέλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 14 επισκέπτες