Σύγκλιση σειράς 104

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\bigg)$

sot arm

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Απρ 16, 2018 1:19 pm
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\bigg)$

Μία αντιμετώπιση...
Έστω:
$\displaystyle{a_{n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}+1}}$

Θέτω επίσης:
$\displaystyle{p_{n}=n(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}})=n(1-\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}+1})=...=\frac{n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}+1}\rightarrow +\infty}$

Το τελευταίο προκύπτει με συζυγείς και λίγη άλγεβρα, τώρα από το κριτήριο του Raabe έπεται ότι η σειρά:

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}(\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}+1})}$

Συγκλίνει.

Η λύση του Σωτήρη είναι ευρηματική και σύντομη. Μια δεύτερη λύση:

Για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $1-x\leqslant{\rm{e}}^{-x}\quad(1)$ και για κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει $-\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}\leqslant2-2\sqrt{n}\quad(2)$ .

$\begin{aligned} \mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}&=\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\Big(1-\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}+\sqrt{\kappa}+1}\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(1)}{\leqslant}\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\exp\big(-\tfrac{1}{\sqrt{\kappa+1}+\sqrt{\kappa}+1}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\leqslant \mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\exp\big(-\tfrac{1}{3\sqrt{\kappa+1}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\big(-\tfrac{1}{3}{\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa+1}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\big(-\tfrac{1}{3}{\textstyle{\sum_{\kappa=2}^{n+1}}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\big(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}{\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n+1}}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(2)}{\leqslant}\exp\big(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}\,\big(2-2\sqrt{n+1}\,\big)\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\exp\big(1-\tfrac{2}{3}\sqrt{n+1}\,\big)\,. \end{aligned}$

Επομένως ισχύει
$\begin{aligned} 0\leqslant\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\bigg)\leqslant{\rm{e}}\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}{\rm{e}}^{-\frac{2}{3}\sqrt{n+1}}\quad(3) \end{aligned}$

Από το λογαριθμικό κριτήριο προκύπτει ότι η σειρά $\sum_{n=1}^{\infty}{\rm{e}}^{-\frac{2}{3}\sqrt{n+1}}$ συγκλίνει. Αλλά τότε, λόγω της (3)

και από το κριτήριο σύγκρισης, έπεται ότι και η σειρά $\sum_{{n}=1}^{\infty}\big(\prod_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\big)$ συγκλίνει.

Σύγκλιση σειράς 104

Σύγκλιση σειράς 104

Re: Σύγκλιση σειράς 104

Re: Σύγκλιση σειράς 104

Μέλη σε σύνδεση