Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 10, 2018 1:02 pm

Εστω f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}

συνεχής με τις ιδιότητες

1)x\in [0,1)\Rightarrow 0\leq f(x)< 1

2)f(1)=1

3)Η παράγωγος στο 1 υπάρχει και είναι f'(1)\neq 0

Να δειχθεί ότι

\lim_{n\rightarrow \infty }n\int_{0}^{1}(f(x))^{n}dx=\dfrac{1}{f'(1)}



Λέξεις Κλειδιά:
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Σύγκλιση ολοκληρωμάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Τετ Απρ 11, 2018 5:03 pm

1) Εύκολα βλέπει κανείς ότι  f'(1)>0
2) Αν  c \in (0,1) τότε   \int^{1-c}_{0} n(f(x))^ndx \stackrel{ n \rightarrow \infty} \rightarrow 0
Γιατί  m=max_{x \in [0,1-c]} f(x)  < 1 και   0  \leq \int_{0}^{1-c} n(f(x))^n dx \leq nm^n
Όμως  nm^n \stackrel{ n \rightarrow \infty} \rightarrow 0  ( λόγω κριτηρίου λόγου πχ )

Άρα , \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1-c} n(f(x))^n dx =0 }

3) Έστω  \epsilon >0  πολύ μικρό τέτοιο ώστε   f'(1)-\epsilon > 0
και βρίσκω λόγω της παραγωγισιμότητας στο 1   \delta >0 επίσης πολύ μικρό τέτοιο ώστε  \delta ( f'(1)+\epsilon ) < 2
και \displaystyle{ | \frac{f(x)-1}{x-1}-f'(1) | < \epsilon  }

Άρα για    1- \delta < x  <    1  έχω ότι \displaystyle{   [(x-1)(f'(1)+ \epsilon) +1 ] ^n n  \leq n(f(x))^n \leq n [(f'(1)(x-1)+1]^n

 \Rightarrow  
\int^{1-\delta}_{0} n(f(x))^ndx +n[\frac{1}{(n+1)(f'(1)+\epsilon)}-\frac{(1-\delta(f'(1)+\epsilon))^{n+1}}{(n+1)(f'(1)+\epsilon)}] \leq \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx \leq  
\int^{1-\delta}_{0} n(f(x))^ndx+n[ \frac{1}{(n+1)(f'(1)-\epsilon)}-\frac{1-\delta (f'(1)-\epsilon)}{(n+1)(f'(1)-\epsilon)}] }

Άρα \displaystyle{ \frac{1}{f'(1)+\epsilon} \leq \lim sup  \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx \leq \frac{1}{f'(1)-\epsilon} \Rightarrow \lim sup \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx=\frac{1}{f'(1)} }
Ομοίως \displaystyle{ \lim inf  \int_{0}^{1} n (f(x))^n dx = \frac{1}{f'(1)} } και το ζητούμενο έχει αποδειχτεί .


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: BAGGP93 και 1 επισκέπτης