Μέθοδος Newton

dement · #1

Μια και πιάσαμε τις προσεγγιστικές μεθόδους στην Ανάλυση, ας το δούμε και αυτό.

Έστω συνάρτηση $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $|f'(x)| \geqslant M > 0$ και $|f''(x)| \leqslant m$ για κάθε $x \in [a,b]$ , καθώς επίσης και f(a) f(b) < 0

. Να αποδειχθεί ότι:

1. Υπάρχει μοναδική ρίζα $\rho \in (a,b)$ της

.

2. Yπάρχει υποδιάστημα (θετικού μέτρου) $I \subseteq [a,b]$ τέτοιο ώστε, για κάθε $x_0 \in I$ , η ακολουθία με αναδρομικό τύπο $\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ συγκλίνει στο $\rho$ .

mikemoke · #2

dement έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 05, 2018 6:12 pm
Μια και πιάσαμε τις προσεγγιστικές μεθόδους στην Ανάλυση, ας το δούμε και αυτό.

Έστω συνάρτηση $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη με $|f'(x)| \geqslant M > 0$ και $|f''(x)| \leqslant m$ για κάθε $x \in [a,b]$ , καθώς επίσης και . Να αποδειχθεί ότι:

1. Υπάρχει μοναδική ρίζα $\rho \in (a,b)$ της .

2. Yπάρχει υποδιάστημα (θετικού μέτρου) $I \subseteq [a,b]$ τέτοιο ώστε, για κάθε $x_0 \in I$ , η ακολουθία με αναδρομικό τύπο $\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ συγκλίνει στο $\rho$ .

Από Darboux έχουμε $f'(x)\geq M \forall x\in [a,b]$ ή $f'(x)\leq -M \forall x\in [a,b]$

Θεωρούμε ότι $f'(x)\geq M \forall x\in [a,b]$ ομοίως αν $f'(x)\leq -M \forall x\in [a,b]$

1)
Από Bolzano $\exists \rho \in (a,b):f(\rho )=0$
f αύξουσα άρα 1-1 . Άρα είναι μοναδική.

2) Θα χρησιμοποιήσουμε $\mu \geq f'(x)\geq M$

$\forall \lambda >M \exists \delta _\lambda >0:$
$M(x-\rho )\leq f(x)\leq\lambda (x-\rho ) \forall x\in (\rho ,\rho +\delta_\lambda )$
$\lambda (x-\rho )\leq f(x)\leq M(x-\rho ) \forall x\in (\rho -\delta_\lambda,\rho )$

Αν $x_0\in (\rho ,\rho +\delta _\lambda )$
τότε $0<\frac{1}{\mu }\leq \frac{1}{f'(x_0)}\leq \frac{1}{M}$ και $0<M(x_0-\rho )\leq f(x_0)\leq\lambda (x_0-\rho )$
$\Rightarrow \frac{M(x_0-\rho )}{\mu }\leq \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\leq \frac{\lambda (x_0-\rho )}{M}$
$\Rightarrow x_0-\frac{\lambda (x_0-\rho )}{M}\leq x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\leq x_0-\frac{M (x_0-\rho )}{\mu}$
$x_0-\frac{\lambda }{M}\left | x_0-\rho \right |\leq x_1\leq x_0-\frac{M}{\mu}\left | x_0-\rho \right |$

Aν $x_0\in(\rho -\delta _\lambda,\rho )$
τότε $-\frac{1}{M}\leq -\frac{1}{f'(x)}\leq -\frac{1}{\mu}<0$ και $\lambda (x_0-\rho )\leq f(x_0)\leq M(x_0-\rho )<0$
$\Rightarrow -\frac{M}{\mu}(x_0-\rho )\leq -\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\leq -\frac{\lambda }{\mu}(x_0-\rho )$
$x_0+\frac{M}{\mu}\left | x_0-\rho \right |\leq x_1\leq x_0+\frac{\lambda }{M}\left | x_0-\rho \right |$

Αν $x_0=\rho$ τότε $x_1=\rho$

Άρα $\exists \lambda _0>0:\forall x_0\in(\rho-\delta _{\lambda _0},\rho+\delta _{\lambda _0}) \left | x_1-\rho \right |\leq k\left | x_0-\rho \right |,0<k<1$
$\Rightarrow x_1\in(\rho-x_0,\rho+x_0)$

Με επαγωγή προκύπτει $\left | x_n-\rho \right |\leq k^n\left | x_0-\rho \right |$
$\Rightarrow x_n\rightarrow \rho$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Περισσότερα για την μέθοδο καθώς και για διαφορετική απόδειξη βλέπε

https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

Να σημειώσω ότι το αρχικό διάστημα που παίρνουμε το $x_{0}$
μπορεί να προσδιορισθεί με την μέθοδο της διχοτόμησης.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method

Μέθοδος Newton

Μέθοδος Newton

Re: Μέθοδος Newton

Re: Μέθοδος Newton

Μέλη σε σύνδεση