Ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi} \arctan^2 \left(\frac{\sin x}{2+\cos x} \right) \, {\rm d}x}$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 31, 2018 10:01 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi} \arctan^2 \left(\frac{\sin x}{2+\cos x} \right) \, {\rm d}x}$

Με Fourier. Για $x \in (0,\pi)$ έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \arctan \left ( \frac{\sin x}{2 + \cos x} \right ) &= \mathfrak{Im} \log \left ( 2 + e^{ix} \right ) \\ &= \mathfrak{Im} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} e^{inx} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} }{n 2^n} \sin nx \end{aligned}}$
Οπότε από Parseval έχουμε:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \arctan^2 \left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)\,\mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 4^n}=\frac{\pi}{2} \cdot \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1}{4} \right )}$
όπου $\mathrm{Li}_2$ ο διλογάριθμος.

Tolaso J Kos · #3

Υπάρχει ο γενικότερος τύπος:

$\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \arctan (r \sin\theta) \arctan (s \sin\theta) \, \mathrm{d}\theta = \pi \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{1+r^{2}} - 1}{r} \cdot \frac{\sqrt{1+s^{2}} - 1}{s} \right)}$
όπου $\chi_2$ η συνάρτηση του Legendre.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση