Ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μαρ 31, 2018 10:01 am

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi} \arctan^2 \left(\frac{\sin x}{2+\cos x} \right) \, {\rm d}x}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 23, 2020 8:26 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Μαρ 31, 2018 10:01 am
Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi} \arctan^2 \left(\frac{\sin x}{2+\cos x} \right) \, {\rm d}x}

Με Fourier. Για x \in (0,\pi) έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\arctan \left ( \frac{\sin x}{2 + \cos x} \right ) &= \mathfrak{Im} \log \left ( 2 + e^{ix} \right ) \\  
 &= \mathfrak{Im} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} e^{inx}  \\  
 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} }{n 2^n} \sin nx 
 \end{aligned}}
Οπότε από Parseval έχουμε:

\displaystyle{\int_{0}^{\pi} \arctan^2 \left(\frac{\sin x}{2+\cos x}\right)\,\mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 4^n}=\frac{\pi}{2} \cdot \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1}{4} \right )}
όπου \mathrm{Li}_2 ο διλογάριθμος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4263
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Μάιος 23, 2020 8:34 pm

Υπάρχει ο γενικότερος τύπος:

\displaystyle{\int_{0}^{\pi/2} \arctan (r \sin\theta) \arctan (s \sin\theta) \, \mathrm{d}\theta  = \pi \chi_{2} \left( \frac{\sqrt{1+r^{2}} - 1}{r} \cdot \frac{\sqrt{1+s^{2}} - 1}{s} \right)}
όπου \chi_2 η συνάρτηση του Legendre.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης