Συνθήκη για συνέχεια

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

sot arm
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Συνθήκη για συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Μαρ 17, 2018 12:56 pm

Δεν ξέρω αν είναι γνωστή πρόταση, πάντως την συνάντησα σαν άσκηση και μου φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω \displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} θεωρούμε τα σύνολα:

\displaystyle{A= \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y<f(x)\}\,,\;  
B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y>f(x)\}}

Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής αν και μόνον αν και το Α και το Β είναι ανοιχτά.

Πηγή: Από του Tom Apostol, το Μathematical Αnalysis


Αρμενιάκος Σωτήρης

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1702
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνθήκη για συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 19, 2018 4:07 pm

Επαναφορά.
Νομίζω ότι το αποτέλεσμα έχει μεγάλο ενδιαφέρον.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1559
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Συνθήκη για συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Μαρ 19, 2018 4:49 pm

Βρίσκεται επίσης στο βιβλίο του Carothers, Real Analysis σελ 65 ασκ 7 .


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Συνθήκη για συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Δευ Μαρ 19, 2018 8:24 pm

sot arm έγραψε:
Σάβ Μαρ 17, 2018 12:56 pm
Δεν ξέρω αν είναι γνωστή πρόταση, πάντως την συνάντησα σαν άσκηση και μου φάνηκε ενδιαφέρουσα:

Έστω \displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} θεωρούμε τα σύνολα:

\displaystyle{A= \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y<f(x)\}\,,\;  
B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} : y>f(x)\}}

Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής αν και μόνον αν και το Α και το Β είναι ανοιχτά.

Πηγή: Από του Tom Apostol, το Μathematical Αnalysis
H πρόταση f συνεχής \Leftrightarrow A,B ανοιχτά
είναι ισοδύναμη με την
1) f συνεχής \Rightarrow A,B ανοιχτά και 2) f ασυνεχής \Rightarrow ένα τουλάχιστον εκ των A,B δεν είναι ανοιχτό

1) Έστω σημείον X(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^{2} με y_0\neq f(x_0) .
Θεωρούμε δίχως βλάβη γενικότητας ότι y_0 < f(x_0) . Άρα X \in A
και \forall x \in \mathbb{R} d(x)=\sqrt{(x-x_0)^2 +(f(x)-y_0)^2}
\lim_{x\to +\infty}d(x)=+\infty και \lim_{x\to -\infty}d(x)=+\infty και d(x)\geq 0 \forall x\in\mathbb{R}
y_0\neq f(x_0) άρα \nexists x\in \mathbb{R}:f(x)=y_0
Από αυτά έχουμε ότι d(x)\geq \varphi >0

Έστω ανοιχτός δίσκος C κέντρου X και ακτίνας \varphi
Έστω τυχαίο σημείο M (x_M,y_M) \in C
τότε x_M\in (x_0-\varphi ,x_0+\varphi )
και y_M\in(y_0-\sqrt{\varphi ^2-(x-x_0)^2},y_0+\sqrt{\varphi ^2-(x-x_0)^2})
Άρα C\subseteq A Άρα A ανοιχτό .Ομοίως για B


2)Aν f ασυνεχής στο \mathbb{R} τότε  \exists \xi \in \mathbb{R} τέτοια ώστε f ασυνεχής στο \xi

Αν \exists \left \{ b_n \right \} με b_n\rightarrow \xi και \lim_{n \to \infty}f(b_n)=+\infty (ή και -\infty)
τότε έστω σημείο N(\xi ,y_n) \in B \Rightarrow y_n>f(\xi )
Έστω δίσκος D(N,\epsilon ) για τυχαίο \epsilon >0
τότε \exists k\in(\xi -\epsilon ,\xi +\epsilon ):f(k)>y_n+\epsilon
αλλά τότε (A\cap (x=k))\cap D(N,\epsilon )\neq \varnothing για τυχαίο \epsilon άρα \forall \epsilon > 0
Άρα το B δεν είναι ανοιχτό

Αλλιώς \exists \left \{ A_n \right \} με A_n\rightarrow \xi και |f(A_n)|\leq a
f(A(\mathbb{N})) φραγμένο και περιέχει άπειρα σημεία .Άρα απο Bolzano-Weierstrass υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.
Άρα \exists \left \{ a_n \right \}n\in\mathbb{N} επιλογή της A_n τέτοια ώστε a_n\rightarrow \xi
και \lim_{n \to \infty}f(a_n)\rightarrow \eta \in R
Με \eta \neq f(\xi ) και δίχως βλάβη γενικότητας \eta <f(\xi )
Άρα K(\xi ,\eta )\in A
Έστω A ανοιχτό .Άρα \exists ανοιχτός δίσκος C' ακτίνας \epsilon >0
ώστε C'\subseteq A και d_{K,f}(x)\geq \epsilon \forall x\in \mathbb{R}
όπου d_{K,f}(x)=\sqrt{(x-\xi )^2+(f(x)-\eta)^2} \forall x\in\mathbb{R}
Aλλά \lim_{n \to \infty}d_{K,f}(a_n)=0
ΑΤΟΠΟ


sot arm
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Συνθήκη για συνέχεια

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τρί Μαρ 20, 2018 12:50 am

Βάζω και εγώ την δικιά μου αντιμετώπιση στο θέμα,

για την μία κατεύθυνση έστω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο \mathbb{R}, τότε η γραφική της παράσταση είναι κλειστό υποσύνολο του επιπέδου,άρα περιέχει όλα τα οριακά της σημεία.
έστω τυχαίο σημείο \displaystyle{X(x_{0},y_{0}) \in A} υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει δίσκος D κέντρου Α ακτίνας r έτσι ώστε D\subseteq A έπεται ότι
\displaystyle{\forall \epsilon >0 , \exists (x_{k},f(x_{k})) \in C_{f} , (x_{k},f(x_{k}) \in D(A;\epsilon)}
Δηλαδή το Α είναι οριακό σημείο της C_{f} Άρα αφού η C_{f} είναι κλειστό σύνολο το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της f , άτοπο
Ομοίως και για τυχόν σημείο του Β και τελειώσαμε.

Για την άλλη κατεύθυνση,

Αρχικά ισχύει το εξής αφού A,B ανοιχτά η ένωση τους είναι ανοιχτό σύνολο, γνωστή πρόταση, άρα το συμπλήρωμα τους είναι κλειστό, δηλαδή η C_{f} κλειστό.

έστω \displaystyle{x_{0}} τυχαίο θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε αυτό.
Έστω:
(x_n) \in \mathbb{R}, x_{n} \rightarrow x_0
Θεωρούμε ένα σημείο A(x_{0},y_{1}) \in A τότε αφού είναι ανοικτό υπάρχει δίσκος D_{1}κέντρου A ακτίνας r_{1} ώστε D_{1}\subseteq A ομοίως θεωρώ το σημείο B(x_{0},y_{2}) \in B υπάρχει δίσκος D_2(B;r_2)
ώστε D_{2}\subseteq B θέτω \delta = min\{r_{1},r_{2}}/

Αρκεί να εξετάσω την σύγκλιση της ακολουθίας f(x_n) στην γειτονία (x_{0}-\delta, x_{0}+\delta).
Στην γειτονία αυτή η f(x_{n}) φράσεται και ανωτέρω και κατωτέρω από τους παραπάνω δίσκους.
Μπορώ συνεπώς να ορίσω το σύνολο των οριακών σημείων της f(x_{n})

Το limsup f(x_{n}) είναι το f(x_{0}) γιατί αφού υπάρχει ακολουθία σημείων της c_{f} που να τείνουν σε αυτό και η C_{f} κλειστό ανήκει στην C_{f} και αφού x_{n} \rightarrow x_{0} το σημείο αυτό είναι κατ'ανάγκη στο f(x_{0}) ομοίως για το liminf f(x_{n})=f(x_{0}) άρα f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})
και τελειώσαμε, από αρχή μεταφοράς.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες