Συνθήκη για συνέχεια
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Συνθήκη για συνέχεια
Δεν ξέρω αν είναι γνωστή πρόταση, πάντως την συνάντησα σαν άσκηση και μου φάνηκε ενδιαφέρουσα:
Έστω θεωρούμε τα σύνολα:
Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής αν και μόνον αν και το Α και το Β είναι ανοιχτά.
Πηγή: Από του Tom Apostol, το Μathematical Αnalysis
Έστω θεωρούμε τα σύνολα:
Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής αν και μόνον αν και το Α και το Β είναι ανοιχτά.
Πηγή: Από του Tom Apostol, το Μathematical Αnalysis
Αρμενιάκος Σωτήρης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Συνθήκη για συνέχεια
Βρίσκεται επίσης στο βιβλίο του Carothers, Real Analysis σελ 65 ασκ 7 .
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: Συνθήκη για συνέχεια
H πρόταση συνεχής ανοιχτά
είναι ισοδύναμη με την
1) συνεχής ανοιχτά και 2) ασυνεχής ένα τουλάχιστον εκ των δεν είναι ανοιχτό
1) Έστω σημείον με .
Θεωρούμε δίχως βλάβη γενικότητας ότι . Άρα
και
και και
άρα
Από αυτά έχουμε ότι
Έστω ανοιχτός δίσκος κέντρου και ακτίνας
Έστω τυχαίο σημείο
τότε
και
Άρα Άρα ανοιχτό .Ομοίως για
2)Aν ασυνεχής στο τότε τέτοια ώστε ασυνεχής στο
Αν με και (ή και )
τότε έστω σημείο
Έστω δίσκος για τυχαίο
τότε
αλλά τότε για τυχαίο άρα
Άρα το δεν είναι ανοιχτό
Αλλιώς με και
φραγμένο και περιέχει άπειρα σημεία .Άρα απο Bolzano-Weierstrass υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο συσσώρευσης.
Άρα επιλογή της τέτοια ώστε
και
Με και δίχως βλάβη γενικότητας
Άρα
Έστω ανοιχτό .Άρα ανοιχτός δίσκος ακτίνας
ώστε και
όπου
Aλλά
ΑΤΟΠΟ
Re: Συνθήκη για συνέχεια
Βάζω και εγώ την δικιά μου αντιμετώπιση στο θέμα,
για την μία κατεύθυνση έστω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε η γραφική της παράσταση είναι κλειστό υποσύνολο του επιπέδου,άρα περιέχει όλα τα οριακά της σημεία.
έστω τυχαίο σημείο υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει δίσκος κέντρου ακτίνας έτσι ώστε έπεται ότι
Δηλαδή το Α είναι οριακό σημείο της Άρα αφού η είναι κλειστό σύνολο το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της , άτοπο
Ομοίως και για τυχόν σημείο του Β και τελειώσαμε.
Για την άλλη κατεύθυνση,
Αρχικά ισχύει το εξής αφού ανοιχτά η ένωση τους είναι ανοιχτό σύνολο, γνωστή πρόταση, άρα το συμπλήρωμα τους είναι κλειστό, δηλαδή η κλειστό.
έστω τυχαίο θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε αυτό.
Έστω:
Θεωρούμε ένα σημείο τότε αφού είναι ανοικτό υπάρχει δίσκος κέντρου ακτίνας ώστε ομοίως θεωρώ το σημείο υπάρχει δίσκος
ώστε θέτω
Αρκεί να εξετάσω την σύγκλιση της ακολουθίας στην γειτονία .
Στην γειτονία αυτή η φράσεται και ανωτέρω και κατωτέρω από τους παραπάνω δίσκους.
Μπορώ συνεπώς να ορίσω το σύνολο των οριακών σημείων της
Το είναι το γιατί αφού υπάρχει ακολουθία σημείων της που να τείνουν σε αυτό και η κλειστό ανήκει στην και αφού το σημείο αυτό είναι κατ'ανάγκη στο ομοίως για το άρα
και τελειώσαμε, από αρχή μεταφοράς.
για την μία κατεύθυνση έστω ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο , τότε η γραφική της παράσταση είναι κλειστό υποσύνολο του επιπέδου,άρα περιέχει όλα τα οριακά της σημεία.
έστω τυχαίο σημείο υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει δίσκος κέντρου ακτίνας έτσι ώστε έπεται ότι
Δηλαδή το Α είναι οριακό σημείο της Άρα αφού η είναι κλειστό σύνολο το Α ανήκει στην γραφική παράσταση της , άτοπο
Ομοίως και για τυχόν σημείο του Β και τελειώσαμε.
Για την άλλη κατεύθυνση,
Αρχικά ισχύει το εξής αφού ανοιχτά η ένωση τους είναι ανοιχτό σύνολο, γνωστή πρόταση, άρα το συμπλήρωμα τους είναι κλειστό, δηλαδή η κλειστό.
έστω τυχαίο θα δείξω ότι η f είναι συνεχής σε αυτό.
Έστω:
Θεωρούμε ένα σημείο τότε αφού είναι ανοικτό υπάρχει δίσκος κέντρου ακτίνας ώστε ομοίως θεωρώ το σημείο υπάρχει δίσκος
ώστε θέτω
Αρκεί να εξετάσω την σύγκλιση της ακολουθίας στην γειτονία .
Στην γειτονία αυτή η φράσεται και ανωτέρω και κατωτέρω από τους παραπάνω δίσκους.
Μπορώ συνεπώς να ορίσω το σύνολο των οριακών σημείων της
Το είναι το γιατί αφού υπάρχει ακολουθία σημείων της που να τείνουν σε αυτό και η κλειστό ανήκει στην και αφού το σημείο αυτό είναι κατ'ανάγκη στο ομοίως για το άρα
και τελειώσαμε, από αρχή μεταφοράς.
Αρμενιάκος Σωτήρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες