Σειρά με coth

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Σειρά με coth

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 13, 2018 9:51 pm

Για τα \alpha \in \mathbb{R} για τους οποία η παρακάτω σειρά έχει νόημα να δειχθεί ότι:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n \coth n \pi}{n^4 -\alpha^4} = \frac{1}{4\alpha^2 \pi} \left [ \frac{1}{\alpha^2} - \pi^2 \cot \pi \alpha \coth \pi \alpha \right ]}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σειρά με coth

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Μαρ 14, 2018 3:39 pm

Ο παλιός και δοκιμασμένος τρόπος...
complex.png
complex.png (57.42 KiB) Προβλήθηκε 237 φορές
Παίρνω \alpha \neq 0 (βλέποντας και την τελική απάντηση).

Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση f με \displaystyle f(z) = \frac{z \cot(i \pi z) \cot(\pi z)}{z^4 - \alpha^4}. Αυτή έχει:

1. Aπλούς πόλους στα σημεία z = n, n \mathrm{i} (n \in \mathbb{Z^*}) (πράσινα σημεία), με υπόλοιπο \displaystyle - \frac{\mathrm{i}n \coth (n \pi)}{\pi (n^4 - \alpha^4)}.

2. Απλούς πόλους στα σημεία z = \pm \alpha, \pm \alpha \mathrm{i} (μπλε σημεία), όλους με υπόλοιπο \displaystyle - \frac{\mathrm{i} \coth (\pi \alpha) \cot (\pi \alpha)}{4 \alpha^2}.

3. Απλό πόλο στο 0 (κόκκινο σημείο) με υπόλοιπο \displaystyle \frac{\mathrm{i}}{\pi^2 \alpha^4}.

Παίρνουμε το \displaystyle I_n \equiv \oint_{C_n} f(z) \mathrm{d}z όπου C_n το μαύρο τετράγωνο (μεταξύ των σημείων n, n+1). Ισχύει (για αρκετά μεγάλο n ώστε τα μπλε σημεία να πέφτουν μέσα στο τετράγωνο) \displaystyle I_n = 2 \pi \mathrm{i} \left(- \sum_{k=1}^n \frac{4 \mathrm{i}k \coth (k \pi)}{\pi (k^4 - \alpha^4)} - \frac{\mathrm{i} \coth (\pi \alpha) \cot (\pi \alpha)}{\alpha^2} + \frac{\mathrm{i}}{\pi^2 \alpha^4} \right) . Αφού όμως η συνεφαπτομένη είναι φραγμένη στο \displaystyle \bigcup_n C_n, ισχύει \displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0, από όπου προκύπτει το ζητούμενο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με coth

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μαρ 14, 2018 7:58 pm

dement έγραψε:
Τετ Μαρ 14, 2018 3:39 pm
Ο παλιός και δοκιμασμένος τρόπος...
Μα με τι άλλο, ε , Δημήτρη ; ;)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης