Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Μαρ 07, 2018 2:42 pm

Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi\big)\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Μαρ 07, 2018 8:00 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Μαρ 07, 2018 2:42 pm
Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi\big)\,.
Κ. Γρηγόρη είναι σίγουρα εντάξει το όριο; Το βλέπω να μπαλατζάρει μεταξύ του -1 και 1.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Μαρ 07, 2018 8:12 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Μαρ 07, 2018 8:00 pm
grigkost έγραψε:
Τετ Μαρ 07, 2018 2:42 pm
Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi\big)\,.
Κ. Γρηγόρη είναι σίγουρα εντάξει το όριο; Το βλέπω να μπαλατζάρει μεταξύ του -1 και 1.
Μάριε, πολύ καλά βλέπεις. Όσο για το αν είναι εντάξει, δεν ξέρω, ταλαντώνεται πάρα πολύ γρήγορα! Θα δείξει....


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 08, 2018 11:26 am

grigkost έγραψε:
Τετ Μαρ 07, 2018 2:42 pm
Να βρεθεί, εφ' όσον υπάρχει, το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi\big)\,.
Απολογούμαι, γιατί ενώ νόμιζα ότι είχα μια λύση, τελικά δεν έχω μια. Eκτός κι αν ισχύει ο ισχυρισμός:

Αν το \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi\big) υπάρχει, τότε \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi\big)=0.

ΝΥΞΗ:
Ίσως βοηθούν τα περί αριθμών Pisot.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Πέμ Μαρ 08, 2018 11:42 am

Καλημέρα Γρηγόρη.

Χάθηκε ένα 17 ή 27 κάτω από τη ρίζα; Το 7 έπρεπε να υπάρχει; ;)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Μαρ 08, 2018 11:47 am

dement έγραψε:
Πέμ Μαρ 08, 2018 11:42 am
Καλημέρα Γρηγόρη.

Χάθηκε ένα 17 ή 27 κάτω από τη ρίζα; Το 7 έπρεπε να υπάρχει; ;)
καλημέρα Δημήτρη.

Αν ήταν 17 ή 27 ή 57 ή... κάτω από την ρίζα, δεν θα υπήρχε κάτι να μάθουμε! ;)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11536
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 08, 2018 11:14 pm

Ας γράψω λύση σε αυτό που επισημαίνει ο Δημήτρης παραπάνω, αφού μπορεί να μην έγινε από όλους αντιλυπτό τι εννοεί.

Θέλουμε λοιπόν το όριο \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{{n}\rightarrow{+\infty}}\sin\big(\big(5+\sqrt{17}\,\big)^n\pi\big)\,.

Εύκολα βλέπουμε από το ανάπτυγμα του διωνύμου ότι ο αριθμός \displaystyle{\big(5+\sqrt{17}\,\big)^n+\big(5-\sqrt{17}\,\big)^n} είναι
άρτιος ακέραιος για κάθε n. Άρα για κάποιον ακέραιο N_n είναι

\displaystyle{\sin\big(\big(5+\sqrt{17}\,\big)^n\pi ) =\sin\big(2N_n\pi - \big(5-\sqrt{17}\,\big)^n\pi )=-\sin\big(\big(5-\sqrt{17}\,\big)^n\pi ) \to -\sin 0=0 }

διότι \displaystyle{|\big(5-\sqrt{17}\,\big)^n| \to  0 } καθώς \displaystyle{|5-\sqrt{17}| < 1} , και λοιπά.

Όμοια το \displaystyle{\displaystyle \sin\big(\big(5+\sqrt{27}\,\big)^n\pi\big)\to 0} από το \displaystyle{ |5-\sqrt{27}|< 1}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4006
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Μαρ 09, 2018 4:31 am

Πήγα να γράφω αυτά που έγραψε ο κ. Μιχάλης , διότι έχω θέσει παρόμοιο θέμα εδώ , διαπίστωσα το πρόβλημα και ΣΤΑΜΑΤΗΣΑ. Θυμήθηκα στη συνέχεια τους αριθμούς Pisot που αναφέρει και ο Γρηγόρης πάνω αλλά τα σχετικά θεωρήματα που γνωρίζω είναι για τις σειρές. Για τις ακολουθίες δεν έχω δει ή διαβάσει κάτι. Χμμμ, τροφή για έρευνα λοιπόν.

Πάντως αν μπορώ να κάνω μία εικασία μάλλον η ακολουθία ταλαντεύεται μεταξύ του -1 και 1 και άρα προφανώς δε συγκλίνει. Θα ήταν ενδιαφέρον ένας τρόπος με στοιχειώδη απόδειξη, αν αυτός υπάρχει.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2795
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όριο τριγωνομετρικής ακολουθίας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Μαρ 09, 2018 10:51 am

Το όριο πρέπει να μην υπάρχει, αλλά δεν νομίζω να υπάρχει μια εύκολη απόδειξη για αυτό. Το καλύτερο που γνωρίζω, προς το παρόν, είναι ότι:

Η ακολουθία των αποστάσεων του \big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi από τον πλησιέστερο ακέραιο (του \big(5+\sqrt{7}\,\big)^n\pi) δεν συγκλίνει στο 0.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες