Σειρά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Σειρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Φεβ 18, 2018 6:09 pm

Περισσότερο όγκο παρά δυσκολία...

Να υπολογίσετε την παρακάτω σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n}}
Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 18, 2018 7:20 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Φεβ 18, 2018 6:09 pm
Περισσότερο όγκο παρά δυσκολία...

Να υπολογίσετε την παρακάτω σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n}}
Φιλικά,
Μάριος
Τίποτα παραπάνω από brute force calculation. Διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n} &=  \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{(-1)^n n}{2n^3+3n^2+n}+ \frac{2n}{2n^3+3n^2+n} + \frac{(-1)^n}{2n^3+3n^2+n} + \frac{1}{2n^3+3n^2+n} \right ]\\  
 &=\sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{(-1)^n}{2n^2+3n+1} + \frac{2}{2n^2+3n+1} +\frac{(-1)^n}{2n^3+3n^2+n} + \frac{1}{2n^3+3n^2+n}  \right ] \\ 
&= \sum_{n=1}^{\infty} \left [\frac{(-1)^n}{(2n+1)(n+1)} + \frac{2}{(2n+1)(n+1)} + \frac{(-1)^n}{n(2n+1)(n+1)} + \frac{1}{n(2n+1)(n+1)}   \right ] \\ 
&= \sum_{n=1}^{\infty} \bigg [ \frac{2(-1)^n}{2n+1}  \cancel{-\frac{(-1)^n}{n+1}} + \bcancel{\frac{4}{2n+1}}  - \frac{2}{n+1} + \cancel{\frac{(-1)^n}{n+1}} - \\ 
&\quad \quad \quad -  \frac{4(-1)^n}{2n+1}+ \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n+1} \bcancel{- \frac{4}{2n+1}} +\frac{1}{n} \bigg ] \\ 
&= \sum_{n=1}^{\infty}\left [ -\frac{2(-1)^n}{2n+1} + \frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ] \\ 
&= -2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} + \cancelto{1}{\sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right ] }\\ 
&=\frac{4-\pi}{2} - \log 2 + 1  
\end{aligned} } διότι \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{\pi}{4} από το Gregory Series.

Τώρα αν ξέφυγε τίποτα άντε βρες το...!! Αναμένω επιβεβαίωση.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12989
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 18, 2018 7:29 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Κυρ Φεβ 18, 2018 6:09 pm
Να υπολογίσετε την παρακάτω σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n\left ( \left ( -1 \right )^{n}+2 \right )+\left ( -1 \right )^{n}+1}{2n^{3}+3n^{2}+n}}
Ο γενικός όρος είναι \displaystyle{ \frac { (-1)^n(n+1)+(2n+1)   }{ n(2n+1)(n+1)}= \frac {  (-1)^n }{n} - \frac { 2 (-1)^n }{2n+1} + \left ( \frac { 1 }{n} - \frac { 1 }{n+1}\right )}

Αθροίζοντας "κατά στήλες" (δηλαδή τους όρους κάθε προσθετέου χωριστά) θα βρούμε από γνωστές σειρές, \displaystyle{ -\ln 2 - 2\left ( -1+\frac {\pi}{4} \right )+1 =  3-\ln 2 -\frac {\pi}{2}}

Edit: Έγραφα συγχρόνως με τον Τόλη. Το αφήνω ως κάπως απλούστερο, και για τον κόπο.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Σειρά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Κυρ Φεβ 18, 2018 9:13 pm

Άψογα! Ευχαριστώ και τους δύο. :clap2:


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 3 επισκέπτες