Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 22, 2017 8:50 pm
Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών
Παρατήρησα (και απέδειξα μετά) ότι ισχύει η παρακάτω σχέση:
Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.
Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;
Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.
Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;
Ανδρέας Αλεξανδρής
Λέξεις Κλειδιά:
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών
Πάρα πολλές παρόμοιες προτάσεις...π.χ. η συνεχής (όχι κατ' ανάγκη παραγωγίσιμη) και μη-φραγμένη.Andreas A. έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pm...υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;
Είναι πολύ γενική ερώτηση...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών
.Andreas A. έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 20, 2018 3:12 pmΠαρατήρησα (και απέδειξα μετά) ότι ισχύει η παρακάτω σχέση:
Η απόδειξή της είναι σχετικά απλή και βγαίνει και με μαθηματικά λυκείου.
Μπορούμε να την βελτιώσουμε/ υπάρχουν παρόμοιες (καλύτερες) προτάσεις για σύνολα τιμών;
Βγαίνει με διάφορους τρόπους. Π.χ. εξετάζουμε την συνάρτηση στο . Αφού η παράγωγος δεν μηδενίζεται, η συνάρτηση έχει ακρότατα στα άκρα (αφού δεν έχει σε εσωτερικό σημείο). Χωρίς βλάβη και (αλλιώς εξετάζουμε την ). Άρα από ΘΜΤ
και άρα . 'Ομοια , και λοιπά.
Άλλος τρόπος/παραλλαγή είναι με Darboux, όπου μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε (αφού πουθενά δεν μηδενίζεται). Άρα για είναι καθώς . Όμοια για , και λοιπά.
Νομίζω ότι είναι στάνταρ άσκηση, χιλιοειπωμένη.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών
Άλλη μία παραλλαγή αλλά αποφεύγοντας τον Darboux, μια και ο τελευταίος είναι εκτός Λυκειακής ύλης:
Η συνάρτηση είναι διότι αν έχουμε . Άρα η είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι , που από την υπόθεση βελτιώνεται σε , και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.
Η συνάρτηση είναι διότι αν έχουμε . Άρα η είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι , που από την υπόθεση βελτιώνεται σε , και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.
-
- Δημοσιεύσεις: 17
- Εγγραφή: Σάβ Απρ 22, 2017 8:50 pm
Re: Ενδιαφέρουσα πρόταση για σύνολο τιμών
Συμφωνούμε απόλυτα και στις 2 προσεγγίσεις, αρχικά το έλυσα με Darboux και μετά με το 1-1 + συνεχής = μονότονη για το "λυκειακό" του θέματος.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 21, 2018 3:27 pmΆλλη μία παραλλαγή αλλά αποφεύγοντας τον Darboux, μια και ο τελευταίος είναι εκτός Λυκειακής ύλης:
Η συνάρτηση είναι διότι αν έχουμε . Άρα η είναι γνήσια μονότονη ως συνεχής, και χωρίς βλάβη είναι γνήσια αύξουσα. Έπεται ότι , που από την υπόθεση βελτιώνεται σε , και γλυτώσαμε τον Darboux. Και λοιπά, όπως πριν.
Ανδρέας Αλεξανδρής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες