Ακολουθία και σύγκλιση
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Ακολουθία και σύγκλιση
Εάν για την ακολουθία ισχύει ότι:
να υπολογίσετε το άθροισμα:
.
να υπολογίσετε το άθροισμα:
.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Ακολουθία και σύγκλιση
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 amΕάν για την ακολουθία ισχύει ότι:
να υπολογίσετε το άθροισμα:
.
και . Για λόγους ευκολίας θέτουμε , οπότε , με .
Φανερά δηλαδή φραγμένη.
Επίσης όχι μονότονη.
Όμως προκύπτουν μονότονες, με διαφορετική μονοτονία, οι υπακολουθίες και , επομένως ως φραγμένες συγκλίνουν, που από την
αναδρομική σχέση προκύπτει ότι έχουν κοινό όριο όπου .
Η δεύτερη λύση της εξίσωσης είναι που απορρίπτεται.
Αν , τότε , διότι
που ισχύει διότι η τιμή είναι εκτός των ριζών της εξίσωσης .
Επομένως η υπακολουθία είναι γνησίως αύξουσα με , που είναι άτοπο. Άρα δεν ορίζεται καλά η με
. Όμοια, αν προκύπτει ότι η υπακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα με που επίσης καταλήγει σε άτοπο.
Επομένως η , είναι καλά ορισμένη μέσω της αναδρομικής σχέσης , μόνον αν είναι σταθερή, με ,
που σημαίνει ότι .
Τότε (εύκολα)
όπου για δίδει
Το ότι συγκλίνει η ακολουθία είναι στοιχειώδες
Σεραφείμ Τσιπέλης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες