Ακολουθία και σύγκλιση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Ακολουθία και σύγκλιση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 am

Εάν για την ακολουθία \{a_n\} ισχύει ότι:
a_1=c, a_{n+1}=2\sqrt{4-2a_n} \forall n\in\mathbb{N} να υπολογίσετε το άθροισμα:
a_1\sqrt{a_2+a_3\sqrt{a_4+...}}.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ακολουθία και σύγκλιση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τρί Ιαν 02, 2018 1:33 pm

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:
Παρ Δεκ 29, 2017 7:37 am
Εάν για την ακολουθία \{a_n\} ισχύει ότι:
a_1=c, a_{n+1}=2\sqrt{4-2a_n} \forall n\in\mathbb{N} να υπολογίσετε το άθροισμα:
a_1\sqrt{a_2+a_3\sqrt{a_4+...}}.

\displaystyle {a_1} = c και \displaystyle {a_{n + 1}} = 2\sqrt {4 - 2{a_n}} . Για λόγους ευκολίας θέτουμε \displaystyle {a_n} = 2{x_n} , οπότε \displaystyle {x_{n + 1}} = 2\sqrt {1 - {x_n}} , με \displaystyle {x_1} = \frac{c}{2} .

Φανερά \displaystyle \forall n \ge 2:0 \le {x_n} \le 2 δηλαδή \displaystyle {x_n}: φραγμένη.

Επίσης \displaystyle {x_{n + 1}} - {x_n} = 2\sqrt {1 - {x_n}}  - 2\sqrt {1 - {x_{n - 1}}}  = \frac{{ - 2\left( {{x_n} - {x_{n - 1}}} \right)}}{{\sqrt {1 - {x_n}}  + \sqrt {1 - {x_{n - 1}}} }} \Rightarrow {x_n}: όχι μονότονη.

Όμως προκύπτουν μονότονες, με διαφορετική μονοτονία, οι υπακολουθίες \displaystyle {x_{2n - 1}} και \displaystyle {x_{2n}} , επομένως ως φραγμένες συγκλίνουν, που από την

αναδρομική σχέση \displaystyle {x_{n + 1}} = 2\sqrt {1 - {x_n}} προκύπτει ότι έχουν κοινό όριο \displaystyle \lambda όπου \displaystyle \lambda  = 2\sqrt {1 - \lambda }  \Rightarrow {\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0 \Rightarrow \lambda  = 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right).

Η δεύτερη λύση της εξίσωσης \displaystyle \lambda  = 2\sqrt {1 - \lambda } είναι \displaystyle {\lambda _o} =  - 2\left( {\sqrt 2  + 1} \right) που απορρίπτεται.

Αν \displaystyle {x_1} > \lambda , τότε \displaystyle {x_3} = 2\sqrt {1 - {x_2}}  = 2\sqrt {1 - 2\sqrt {1 - {x_1}} }  > {x_1} , διότι \displaystyle 2\sqrt {1 - 2\sqrt {1 - {x_1}} }  > {x_1} \Leftrightarrow .. \Leftrightarrow x_1^4 - 8x_1^2 + 64{x_1} - 48 > 0 \Leftrightarrow

\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + 4{x_1} - 4} \right)\left( {x_1^2 - 4{x_1} + 12} \right) > 0 που ισχύει διότι η τιμή \displaystyle {x_1} > \lambda είναι εκτός των ριζών της εξίσωσης \displaystyle {\lambda ^2} + 4\lambda  - 4 = 0 .

Επομένως η υπακολουθία \displaystyle {x_{2n - 1}} είναι γνησίως αύξουσα με \displaystyle {x_1} > \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_{2n - 1}} , που είναι άτοπο. Άρα δεν ορίζεται καλά η \displaystyle {x_n} με \displaystyle {x_1} > \lambda

. Όμοια, αν \displaystyle {x_1} < \lambda προκύπτει ότι η υπακολουθία \displaystyle {x_{2n - 1}} είναι γνησίως φθίνουσα με \displaystyle {x_1} < \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_{2n - 1}} που επίσης καταλήγει σε άτοπο.

Επομένως η \displaystyle {x_n} , είναι καλά ορισμένη μέσω της αναδρομικής σχέσης \displaystyle {x_{n + 1}} = 2\sqrt {1 - {x_n}} , μόνον αν είναι σταθερή, με \displaystyle {x_n} = 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right) ,

που σημαίνει ότι \displaystyle \forall n \in N*:{a_n} = 4\left( {\sqrt 2  - 1} \right) = c.

Τότε (εύκολα) \displaystyle S = {a_1}\sqrt {{a_2} + {a_3}\sqrt {{a_4} + ..} }  = c\sqrt {c + c\sqrt {c + c\sqrt {c + ..} } }  \Rightarrow {S^2} = {c^2}\left( {c + S} \right) \Rightarrow S = \frac{{{c^2} + c\sqrt {{c^2} + 4c} }}{2}

όπου για \displaystyle c = 4\left( {\sqrt 2  - 1} \right) δίδει \displaystyle S = 8\left( {3 - 2\sqrt 2  + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \right) :) :)


Το ότι συγκλίνει η ακολουθία \displaystyle {y_n} = c\underbrace {\sqrt {c + c\sqrt {c + c\sqrt {c + ..} } } }_{n:{\rm{ \rho \iota \zeta \iota \kappa \alpha }}} είναι στοιχειώδες


Σεραφείμ Τσιπέλης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης