Σύνολο Cantor

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2888
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύνολο Cantor

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Δεκ 03, 2017 1:46 am

Το σύνολο Cantor \mathfrak{C} προκύπτει από την επ' άπειρον αφαίρεση του ανοικτού μεσαίου τρίτου διαστήματος από κάθε διάστημα που έχει προκύψει με τον ίδιο τρόπο από το προηγούμενο βήμα: Στο πρώτο βήμα αφαιρούμε από το διάστημα [0,1] το διάστημα \bigl({\frac13,\frac23}\bigr). Έτσι προκύπτει το σύνολο \bigl[{0,\frac13}\bigr]\cup\bigl[{\frac23,1}\bigr] από το οποίο, επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία, προκύπτει το σύνολο \bigl[{0,\frac19}\bigr]\cup\bigl[{\frac29,\frac13}\bigr]\cup[{\frac23,\frac79}\bigr]\cup\bigl[{\frac89,1}\bigr], κ.ο.κ. (βλέπε Cantor set.ggb)

Ένας αναδρομικός τύπος που δίνει το προκύπτον σύνολο C_n μετά το n-οστό βήμα είναι ο

C_{n} =\displaystyle\frac{C_{n-1}}{3} \bigcup \Bigl(\frac{2}{3}+\frac{C_{n-1}}{3}\Bigr)\,,\quad C_0=[0,1]\,.
Τελικά, το σύνολο \mathfrak{C} είναι το σύνολο
{\mathfrak{C}}=[0,1] \setminus \displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty \;\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1} \Bigl(\tfrac{3k+1}{3^n},\tfrac{3k+2}{3^n}\Bigr)\,.
Ποιο είναι το (Lebesque) μέτρο του \mathfrak{C} θεωρουμένου σαν υποσύνολο του \mathbb{R} ; Είναι το \mathfrak{C} αριθμήσιμο;

Cantor set.ggb
(10.02 KiB) Μεταφορτώθηκε 60 φορές


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Σύνολο Cantor

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Δευ Οκτ 01, 2018 3:17 pm

Τὸ μέτρο τοῦ συνόλου Cantor εἶναι ΜΗΔΕΝ. Αὐτὸ φαίνεται ἀπὸ τὸ ἑξῆς: C\subset C_n καὶ \mu(C_n)=(2/3)^n. Ἄρα
\displaystyle{ 
\mu(C)\le \frac{2^n}{3^n}, 
}
διὰ κάθε n\in\mathbb N, καὶ ἄρα \mu(C)=0.

Εἶναι ἰσοπληθικὸ μὲ τὸ \mathbb R, καθὼς περιέχει ὅλους τοὺς ἀριθμοὺς στὸ [0,1], οἱ ὁποῖοι στὸ 3αδικό τους ἀνάπτυγμα ἔχουν μόνο 0 καὶ 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης