Σελίδα 1 από 1
Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
από grigkost
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά
στο διάστημα
.
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 14, 2017 3:18 pm
από Demetres
Θα δείξουμε ότι συγκλίνει κατά σημείο αλλά όχι ομοιόμορφα στο
.
Για
, θέτω
. Τότε
και
. Από την ανισότητα Bernoulli, έχω
. (Η φορά είναι σωστή επειδή
.)
Άρα
Άρα η
συγκλίνει.
Έστω προς άτοπο ότι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη. Άρα υπάρχει φυσικός
ώστε
για κάθε
.
Θέτω
. Τότε
και άρα
Οπότε
άτοπο.
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 14, 2017 3:31 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
grigkost έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά
στο διάστημα
.
Επιπλέον ερώτημα.
Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα
του
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 14, 2017 3:49 pm
από grigkost
grigkost έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 14, 2017 11:38 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η σειρά
στο διάστημα
.
Χωρίς να διαφέρει ουσιαστικά από την λύση του Δημήτρη... (έχει και δυο σημεία στα οποία θα "χωρούσε" αποδείξεις, τις οποίες αντιπαρέρχομαι).
Για κάθε
ισχύει
Επειδή
έπεται ότι, για κάθε
, η ακολουθία μερικών αθροισμάτων της
είναι φραγμένη. Λόγω της
έπεται ότι και η ακολουθία μερικών αθροισμάτων
της
είναι φραγμένη. Επειδή η
είναι και αύξουσα, έπεται ότι η σειρά
συγκλίνει κατά σημείο στο διάστημα
.
Για κάθε
ισχύει
Επειδή
, ώστε
και
έπεται ότι η
δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο
.
Re: Σύγκλιση σειράς συναρτήσεων 08
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 15, 2017 1:42 pm
από grigkost
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τρί Νοέμ 14, 2017 3:31 pm
Επιπλέον ερώτημα.
Να αποδειχθεί ότι η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στα συμπαγή υποσύνολα του
Για την ακολουθία
για κάθε
ισχύει
Επομένως η
ισχύει και για κάθε συμπαγές υποσύνολο του
με άκρα τα
και
.
Επίσης, για κάθε
:
- για ισχύει
- ενώ για ισχύει
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Σε κάθε περίπτωση ισχύει
όπου
σταθερά που προσδιορίζεται πλήρως από τις παραπάνω περιπτώσεις. Άρα η σειρά
συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του
.
Σημείωση: Οι ανισότητες που χρησιμοποιήθηκαν μπορούν να αποδειχθούν εύκολα. Τις αφήνουμε σαν άσκηση.