Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Νοέμ 07, 2017 1:10 pm

Ψάχνω για συνάρτηση \displaystyle{f:\Bbb{R} \to \Bbb{R}}, συνεχή, επί, ώστε \displaystyle{\lim_{x \to x_0} \frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty}, για κάθε \displaystyle{x_0 \in \Bbb{R}}.

(Δεν έχω απάντηση)


Σπύρος Καπελλίδης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8541
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 07, 2017 2:40 pm

Σπύρο, δεν υπάρχει.

Βήμα 1ο (εύκολο): Αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση, θα ήταν γνησίως αύξουσα.

Βήμα 2ο (ζόρικο): Κάθε μονότονη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σχεδόν παντού.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 07, 2017 2:52 pm

Νομίζω ότι έχω απόδειξη χωρίς το 2 του Δημήτρη χρησιμοποιώντας συμπάγεια.
Ηδη το 1 έχει εμφανισθεί σε άσκηση πρόσφατα. (δηλαδή η απόδειξη του)
Η συνέχεια το βράδυ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 07, 2017 9:46 pm

Για μια οποιοδήποτε συνάρτηση που το a είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της είναι

\limsup_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{t\rightarrow 0^{+}}supf((a,a+t))

Επίσης για οποιοδήποτε συνάρτηση σε διάστημα ορίζεται η δεξιά άνω παράγωγος ως εξής

\bar{D}^{+}f(a)=\limsup_{x\rightarrow a^{+}}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}


Χρησιμοποιώντας το
viewtopic.php?f=61&t=60139

εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι

Αν f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} συνεχής με

\bar{D}^{+}f(x)>0 για x\in [a,b)

τότε η f είναι γνησίως αύξουσα.


Αν χρησιμοποιήσουμε το 2 που ανέφερε ο Δημήτρης έχουμε ότι δεν υπάρχει συνεχής μη παραγωγίσημη

f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}

ώστε \bar{D}^{+}f(x)>0 για x\in \mathbb{R}



Στην περίπτωση που \bar{D}^{+}f(x)=\infty μπορούμε να αποφύγουμε το βαρύ 2 με το εξης

Αν Αν f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} συνεχής με

\bar{D}^{+}f(x)>R για x\in [a,b)

τότε f(b)-f(a)\geq R(b-a)
(κάτι ενδιαφέρον και από μόνο του)

Απόδειξη.
Εστω A=\left \{ x\in (a,b]:f(x)-f(a)\geq R(x-a) \right \}

Είναι προφανές ότι A\neq \o

Εστω c=supA

Επειδή υπάρχει αύξουσα ακολουθία (x_{n}),x_{n}\in A

με x_{n}\rightarrow c

οι σχέσεις f(x_{n})-f(a)\geq R(x_{n}-a) με όριο

δίνουν ότι f(c)-f(a)\geq R(c-a)

Αρα c\in A

Αν c<b τότε επειδή \bar{D}^{+}f(c)>R υπάρχει k>c με f(k)-f(c)\geq R(k-c)

Προκύπτει ότι f(k)-f(a)\geq R(k-a) ΑΤΟΠΟ από ορισμό sup.

Τελικά c=b και αφού c\in A έχουμε το ζητούμενο

Σημείωση.Η συμπάγεια πήγε περίπατο.Την αντικατέστησαν τα sup.


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τετ Νοέμ 08, 2017 4:44 am

Δημήτρη :coolspeak: : Αν η συνάρτηση είναι μονότονη σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα, τότε είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιμη σ' αυτό

(Θεώρημα Lebesque) :wallbash: .

Σταύρο, ευχαριστώ, δεν πρόλαβα να κοιτάξω τη λύση σου.


Σπύρος Καπελλίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης