Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη
Ψάχνω για συνάρτηση , συνεχή, επί, ώστε , για κάθε .
(Δεν έχω απάντηση)
(Δεν έχω απάντηση)
Σπύρος Καπελλίδης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη
Σπύρο, δεν υπάρχει.
Βήμα 1ο (εύκολο): Αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση, θα ήταν γνησίως αύξουσα.
Βήμα 2ο (ζόρικο): Κάθε μονότονη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σχεδόν παντού.
Βήμα 1ο (εύκολο): Αν υπήρχε τέτοια συνάρτηση, θα ήταν γνησίως αύξουσα.
Βήμα 2ο (ζόρικο): Κάθε μονότονη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σχεδόν παντού.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη
Νομίζω ότι έχω απόδειξη χωρίς το 2 του Δημήτρη χρησιμοποιώντας συμπάγεια.
Ηδη το 1 έχει εμφανισθεί σε άσκηση πρόσφατα. (δηλαδή η απόδειξη του)
Η συνέχεια το βράδυ.
Ηδη το 1 έχει εμφανισθεί σε άσκηση πρόσφατα. (δηλαδή η απόδειξη του)
Η συνέχεια το βράδυ.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη
Για μια οποιοδήποτε συνάρτηση που το είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της είναι
Επίσης για οποιοδήποτε συνάρτηση σε διάστημα ορίζεται η δεξιά άνω παράγωγος ως εξής
Χρησιμοποιώντας το
viewtopic.php?f=61&t=60139
εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι
Αν συνεχής με
για
τότε η είναι γνησίως αύξουσα.
Αν χρησιμοποιήσουμε το 2 που ανέφερε ο Δημήτρης έχουμε ότι δεν υπάρχει συνεχής μη παραγωγίσημη
ώστε για
Στην περίπτωση που μπορούμε να αποφύγουμε το βαρύ 2 με το εξης
Αν Αν συνεχής με
για
τότε
(κάτι ενδιαφέρον και από μόνο του)
Απόδειξη.
Εστω
Είναι προφανές ότι
Εστω
Επειδή υπάρχει αύξουσα ακολουθία
με
οι σχέσεις με όριο
δίνουν ότι
Αρα
Αν τότε επειδή υπάρχει με
Προκύπτει ότι ΑΤΟΠΟ από ορισμό sup.
Τελικά και αφού έχουμε το ζητούμενο
Σημείωση.Η συμπάγεια πήγε περίπατο.Την αντικατέστησαν τα sup.
Επίσης για οποιοδήποτε συνάρτηση σε διάστημα ορίζεται η δεξιά άνω παράγωγος ως εξής
Χρησιμοποιώντας το
viewtopic.php?f=61&t=60139
εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι
Αν συνεχής με
για
τότε η είναι γνησίως αύξουσα.
Αν χρησιμοποιήσουμε το 2 που ανέφερε ο Δημήτρης έχουμε ότι δεν υπάρχει συνεχής μη παραγωγίσημη
ώστε για
Στην περίπτωση που μπορούμε να αποφύγουμε το βαρύ 2 με το εξης
Αν Αν συνεχής με
για
τότε
(κάτι ενδιαφέρον και από μόνο του)
Απόδειξη.
Εστω
Είναι προφανές ότι
Εστω
Επειδή υπάρχει αύξουσα ακολουθία
με
οι σχέσεις με όριο
δίνουν ότι
Αρα
Αν τότε επειδή υπάρχει με
Προκύπτει ότι ΑΤΟΠΟ από ορισμό sup.
Τελικά και αφού έχουμε το ζητούμενο
Σημείωση.Η συμπάγεια πήγε περίπατο.Την αντικατέστησαν τα sup.
Re: Συνάρτηση παντού συνεχής και μη παραγωγίσιμη
Δημήτρη : Αν η συνάρτηση είναι μονότονη σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα, τότε είναι σχεδόν παντού παραγωγίσιμη σ' αυτό
(Θεώρημα Lebesque) .
Σταύρο, ευχαριστώ, δεν πρόλαβα να κοιτάξω τη λύση σου.
(Θεώρημα Lebesque) .
Σταύρο, ευχαριστώ, δεν πρόλαβα να κοιτάξω τη λύση σου.
Σπύρος Καπελλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες