Μία με μονοτονία

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Έστω συνάρτηση $g:\left [ a, \right b]\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσιμη και γνησίως μονότονη στο $\left [ a, \right b ]$ με g(a)=0

. Να δείξετε ότι αν η $\frac{{g}''(x)}{{g}'(x)}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left ( a, \right b)$ τότε και η $\frac{{g}'(x)}{g(x)}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\left ( a, \right b)$ .

#2

Μπορώ να υποθέσω ότι η g(x)

είναι γνησίως αύξουσα. (Σε διαφορετική περίπτωση δουλεύω με την -g(x)

χωρίς να αλλάζει κάτι.)

Επειδή είναι γνησίως αύξουσα, έχω g(x) > 0

και

για κάθε $x \in (a,b]$ . Έστω a < c < b

. Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Cauchy υπάρχει $\xi \in (a,c)$ ώστε

$\displaystyle \frac{g'(c) - g'(a)}{g(c) - g(a)} = \frac{g''(\xi)}{g'(\xi)}$

Άρα

$\displaystyle \frac{g'(c)}{g(c)} > \frac{g'(c) - g'(a)}{g(c)} = \frac{g'(c) - g'(a)}{g(c) - g(a)} = \frac{g''(\xi)}{g'(\xi)} > \frac{g''(c)}{g'(c)}$

Ορίζω $f(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ για $x \in (a,b)$ . Τότε

$\displaystyle f'(c) = \frac{g''(c)g(c) - g'(c)^2}{g(c)^2} = \frac{g'(c)}{g(c)}\left[\frac{g''(c)}{g'(c)} - \frac{g'(c)}{g(c)}\right] < 0$

Άρα η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα όπως θέλαμε να δείξουμε.

Μία με μονοτονία

Μία με μονοτονία

Re: Μία με μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση