Σειρά με γινόμενο αρμονικών

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με γινόμενο αρμονικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιούλ 30, 2017 11:57 am

Σε όποιους αρέσουν τα αρμονικά παρακαλώ προσέλθετε.

Έστω \mathcal{H}_n ο n - οστός αρμονικός όρος. Αποδείξατε ότι:
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\mathcal{H}_n \mathcal{H}_{n+1}}{(n+1)^2}  = \frac{\pi^4}{480}}
Έχω φτάσει στη πηγή και νερό δε πίνω αφού το ολοκλήρωμα που πρέπει να υπολογίσω για να εμφανιστεί το αποτέλεσμα είναι επίπονο και εξοντωτικό. Το έχω δουλέψει με γεννήτριες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Σειρά με γινόμενο αρμονικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Αύγ 02, 2017 6:46 pm

Έφτασα εδώ .. όμως κόλλησα .. :( :(

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}{H_{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  =  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right){{\log }^2}\left( {1 + x} \right)}}{x}dx}  =  - \frac{{{\pi ^2}{{\log }^2}2}}{{12}} + \int\limits_0^1 {\frac{{L{i_2}\left( x \right)\log \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}}dx}  = ?}


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με γινόμενο αρμονικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Αύγ 02, 2017 7:37 pm

Σεραφείμ,

δε ξέρω για το τελευταίο ολοκλήρωμα... αλλά γενικά τα λογαριθμικά ολοκληρώματα είναι "ζόρικα". Θα το κοιτάξω όμως. Πάντως θέλω να δω πώς έφτασεις εκεί ... !!

Υ.Σ: Πάντως, το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται στο \frac{\pi^4}{480} ... Απόδειξη ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Σειρά με γινόμενο αρμονικών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Αύγ 03, 2017 12:33 am

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}{H_{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  =  - \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}}}{{n + 1}}\int\limits_0^1 {{x^n}\log \left( {1 - x} \right)dx} } } \displaystyle{ =  - \int\limits_0^1 {\log \left( {1 - x} \right)\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}}}{{n + 1}}{x^n}} dx}  = }

\displaystyle{ =  - \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{x}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{H_n}}}{{n + 1}}{{\left( { - x} \right)}^{n + 1}}} dx}  =  - \int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right)}}{x}\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{H_n}}}{{n + 1}}{{\left( { - x} \right)}^{n + 1}}} dx} } \displaystyle{ =  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right){{\log }^2}\left( {1 + x} \right)}}{x}dx}  = }

\displaystyle{ =  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {L{i_2}\left( x \right)} \right)'{{\log }^2}\left( {1 + x} \right)dx}  =  - \frac{{{\pi ^2}{{\log }^2}2}}{{12}} + \int\limits_0^1 {\frac{{L{i_2}\left( x \right)\log \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}}dx} }

Όλες οι ιδιότητες, είναι αποδειγμένες εδώ viewtopic.php?f=9&t=27979&p=136404#p136404


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4441
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με γινόμενο αρμονικών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 06, 2017 11:53 am

Σεραφείμ έγραψε:Έφτασα εδώ .. όμως κόλλησα .. :( :(

\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{H_n}{H_{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}  =  - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 - x} \right){{\log }^2}\left( {1 + x} \right)}}{x}dx}  =  - \frac{{{\pi ^2}{{\log }^2}2}}{{12}} + \int\limits_0^1 {\frac{{L{i_2}\left( x \right)\log \left( {1 + x} \right)}}{{1 + x}}dx}  = ?}

Μία λύση στο math.stackexchange.com ... !!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες