.Βγαίνει και με ύλη γ' λυκείου. Αυτό που με ενδιαφέρει είναι αν μπορεί να υπολογιστεί με όσο γίνεται λιγότερες πράξεις (τα άκρα δεν βοηθάνε καθόλου).
Φιλικά,
Μάριος
Γνωστό ολοκλήρωμα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Γνωστό ολοκλήρωμα
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα .
Βγαίνει και με ύλη γ' λυκείου. Αυτό που με ενδιαφέρει είναι αν μπορεί να υπολογιστεί με όσο γίνεται λιγότερες πράξεις (τα άκρα δεν βοηθάνε καθόλου).
Φιλικά,
Μάριος
.Βγαίνει και με ύλη γ' λυκείου. Αυτό που με ενδιαφέρει είναι αν μπορεί να υπολογιστεί με όσο γίνεται λιγότερες πράξεις (τα άκρα δεν βοηθάνε καθόλου).
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
-
Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5555
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: International
- Επικοινωνία:
Re: Γνωστό ολοκλήρωμα
Καλησπέρα και καλή βροχερή Κυριακή από τα όμορφα Φάρσαλα,M.S.Vovos έγραψε:Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
Αφού το επιτρέπει ο φάκελος έχουμε και λέμε
![\displaystyle{\begin{aligned}
\int_{e^{1/\sqrt{2}}}^{e} \frac{\sqrt{\log^2 x+1}}{x} \, {\rm d}x &\overset{u=\log x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{u^2+1} \, {\rm d}u\\
&\!\!\!\!\overset{u=\sinh y}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \sqrt{\sinh^2 y +1} \cosh y \, {\rm d}y \\
&=\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \cosh^2 y \, {\rm d}y \\
&= \frac{1}{4}\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left ( e^x+e^{-x} \right )^2 \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{4} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left [ e^{2x} +2 + e^{-2x} \right ] \, {\rm d}x \\
&= \left [\frac{x}{2} + \frac{\sinh 2x}{4} \right ]_{{\rm arcsinh \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}}^{{\rm arcsinh (1)}} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{2} {\rm arcsinh} (1)
\end{aligned}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ca514fb91cba6f394153d1384183ed80.png "\displaystyle{\begin{aligned}
\int_{e^{1/\sqrt{2}}}^{e} \frac{\sqrt{\log^2 x+1}}{x} \, {\rm d}x &\overset{u=\log x}{=\! =\! =\! =\!} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{u^2+1} \, {\rm d}u\\
&\!\!\!\!\overset{u=\sinh y}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \sqrt{\sinh^2 y +1} \cosh y \, {\rm d}y \\
&=\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \cosh^2 y \, {\rm d}y \\
&= \frac{1}{4}\int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left ( e^x+e^{-x} \right )^2 \, {\rm d}x \\
&= \frac{1}{4} \int_{{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}^{{\rm arcsinh} (1)} \left [ e^{2x} +2 + e^{-2x} \right ] \, {\rm d}x \\
&= \left [\frac{x}{2} + \frac{\sinh 2x}{4} \right ]_{{\rm arcsinh \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )}}^{{\rm arcsinh (1)}} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}{\rm arcsinh} \left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) + \frac{1}{2} {\rm arcsinh} (1)
\end{aligned}}")
Νομίζω απαντά στην ερώτηση για αποφυγή πολλών πράξεων.Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Γνωστό ολοκλήρωμα
Τέλεια Τόλη! Με κάλυψες πλήρως.
Ας το δούμε τώρα και με ύλη γ' λυκείου.
Φιλικά.
Ας το δούμε τώρα και με ύλη γ' λυκείου.
Φιλικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5555
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: International
- Επικοινωνία:
Re: Γνωστό ολοκλήρωμα
Μα το χουμε δει πολλές φορές. Η βασική ιδέα είναι οι παράγοντες. Δείτε π.χ εδώ όπου στον εκεί σύνδεσμο αντικαθιστούμε τα άκραM.S.Vovos έγραψε:Ας το δούμε τώρα και με ύλη γ' λυκείου.
και 
με τα δικά μας. Και σίγουρα το χουμε δει και αλλού. Πού ;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης