Ασύμπτωτη παραγώγου

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Ασύμπτωτη παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 23, 2017 7:49 pm

Δίνεται f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

Θεωρούμε το A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}

και την g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει f ώστε η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Τετ Μάιος 24, 2017 11:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

Θεωρούμε το A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}

και την g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει f ώστε η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Θα μπορούσε να είναι η f(x)=ax+c με a\rightarrow 0 ;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Μάιος 24, 2017 11:14 pm

mikemoke έγραψε: Θα μπορούσε να είναι η f(x)=ax+c με a\rightarrow 0 ;
Δεν έχει νόημα αυτό: Η συνάρτηση πρέπει να είναι μία (ένα a, όχι άπειρα και μεταβαλόμενα). Όπως και να είναι, ως ευθεία ικανοποιεί μόνο μία από τις συνθήκες
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 25, 2017 10:57 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

Θεωρούμε το A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}

και την g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει f ώστε η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.

Να διευκολύνω γιατί τέτοια ερωτήματα είναι αποτρεπτικά μιας και δεν ξέρουμε
αν θα πρέπει να την κατασκευάσουμε
η να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει.

Η απάντηση είναι ότι υπάρχει. Το πρόβλημα είναι να κατασκευασθεί μία.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Μάιος 25, 2017 8:14 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

Θεωρούμε το A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}

και την g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει f ώστε η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Aπό \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty προκύπτει
\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)
και απο ότι η g δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη προκύπτει
g(xo) \neq+-\infty άρα f'(xo)\neq 0
Θα μπορούσατε να επισημάνετε το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;(γιατί αφού υπάρχει η f(x) τα παραπάνω δεν ισχύουν)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 25, 2017 8:43 pm

mikemoke έγραψε: Aπό \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty προκύπτει
\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)
Δεν αληθεύει. Για παράδειγμα η f(x) = 4x αν x\ge 1 και f(x)= -8x αν x\le -1 και f(x) ίσον οτιδήποτε στο ενδιάμεσο [-1,1] ώστε να είναι παραγωγίσιμη (για παράδειγμα f(x)=-x^3+3x^2+x-3 ) ικανοποιεί

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

πλην όμως

\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)= 4 \ne 8 =-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Μάιος 25, 2017 8:59 pm

Aπό \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty προκύπτει
\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=-\lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)

Απάντηση
Δεν προκύπτει.Πάρε
f(x)=x^{2}(1+(\sin x)^{2})
τα όρια των παραγώγων δεν υπάρχουν

και απο ότι η g δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη προκύπτει
g(xo) \neq+-\infty άρα f'(xo)\neq 0
Θα μπορούσατε να επισημάνετε το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό;(γιατί αφού υπάρχει η f(x) τα παραπάνω δεν ισχύουν)

Απάντηση
Για να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη μια συνάρτηση σε ένα σημείο που δεν ορίζεται έστω
a θα πρέπει κανένα από τα \lim_{x\rightarrow a^{+}}g(x),\lim_{x\rightarrow a^{-}}g(x)
να μην είναι +\infty ,-\infty
Στην συνάρτηση που ισχυρίζομαι ότι υπάρχει αυτά τα όρια δεν υπάρχουν οπότε δεν μπορεί να είναι +\infty ,-\infty
Θα είναι επίσης f'(a)=0
για να μην ορίζεται εκεί η g ώστε να έχουμε το δικαίωμα να μιλάμε για ασύμπτωτη της g
στο a

Αν και βλέπω ότι απάντησε ο Μιχάλης το αφήνω γιατί από όσο πρόλαβα να δω είναι διαφορετικό.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 26, 2017 7:23 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

Θεωρούμε το A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}

και την g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει f ώστε η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Επειδή κάποιοι ανυπομονούν θα γράψω τα βήματα της κατασκευής συνάρτησης f ώστε
η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Βήμα 1
Φτιάχνουμε h:[0,b]\rightarrow \mathbb{R} όπου b> 0
με τις ιδιότητες

α)h(0)=h'(0)=0

β)x\in (0,b]\Rightarrow h'(x)> 0

γ)Το \lim_{x\rightarrow 0^{+}}h'(x) δεν υπάρχει.

(Απόδειξη αύριο γιατί θέλει πολύ γράψιμο)

Βήμα 2
Παίρνουμε H:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με H(x)=h(x) για )x\in [0,b]

και H(x)=h(b)+h'(b)(x-b) για x\in (b,\infty )

Βήμα 3
Θέτουμε f(x)=H(x) για x\geq 0

και f(x)=H(-x) για x< 0



Είναι σαφές ότι η f πληρεί τις προυποθέσεις.

Η g:\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}

και στο 0 δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

αφού τα \lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x) δεν υπάρχουν στο \mathbb{R}\cup \left \{ -\infty ,\infty \right \}


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 216
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Παρ Μάιος 26, 2017 9:44 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Δίνεται f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty

Θεωρούμε το A=\left \{ x:f'(x)=0 \right \}

και την g:\mathbb{R}-A\rightarrow \mathbb{R}

με g(x)=\dfrac{1}{f'(x)}

Η ερώτηση είναι:
Υπάρχει f ώστε η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Πηγή.Η ερώτηση τέθηκε στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙ.
Επειδή κάποιοι ανυπομονούν θα γράψω τα βήματα της κατασκευής συνάρτησης f ώστε
η g να μην έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Βήμα 1
Φτιάχνουμε h:[0,b]\rightarrow \mathbb{R} όπου b> 0
με τις ιδιότητες

α)h(0)=h'(0)=0

β)x\in (0,b]\Rightarrow h'(x)> 0

γ)Το \lim_{x\rightarrow 0^{+}}h'(x) δεν υπάρχει.

(Απόδειξη αύριο γιατί θέλει πολύ γράψιμο)

Βήμα 2
Παίρνουμε H:[0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}

με H(x)=h(x) για )x\in [0,b]

και H(x)=h(b)+h'(b)(x-b) για x\in (b,\infty )

Βήμα 3
Θέτουμε f(x)=H(x) για x\geq 0

και f(x)=H(-x) για x< 0



Είναι σαφές ότι η f πληρεί τις προυποθέσεις.

Η g:\mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}

και στο 0 δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

αφού τα \lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}g(x) δεν υπάρχουν στο \mathbb{R}\cup \left \{ -\infty ,\infty \right \}
1)Αυτό μπορεί να ισχύει για κάθε f ;
Δηλαδή αν f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Rightarrow g δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη
Η παραπάνω περίπτωση είναι η μόνη που ικανοποιεί;
2)Mπορεί να δωθεί παράδειγμα f ώστεg να παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη (αν υπάρχει);


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13335
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μάιος 26, 2017 10:06 pm

mikemoke έγραψε: 1)Αυτό μπορεί να ισχύει για κάθε f ;
Δηλαδή αν f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη συνάρτηση με

\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Rightarrow g δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη

Είναι πολύ εύκολο να φτιάξεις παραδείγματα που δείχνουν ότι δεν είναι σωστός ο ισχυρισμός. Πάρε για παράδειγμα f(x)=x^2.
mikemoke έγραψε:Η παραπάνω περίπτωση είναι η μόνη που ικανοποιεί;
2)Mπορεί να δωθεί παράδειγμα f ώστεg να παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη (αν υπάρχει);
Eύκολα βλέπει κανείς ότι δεν είναι δυνατόν η εν λόγω συνάρτηση να είναι η μόνη. Αμέσως αμέσως οι 2f(x), \, -f(x) και f(x+1) δίνουν και άλλα παραδείγματα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μάιος 26, 2017 10:32 pm

Ξεκινάω να κάνω το βήμα 1.
Πρέπει να βρούμε παραγωγίσημη συνάρτηση με θετική παράγωγο που σε ένα σημείο η παράγωγος δεν είναι συνεχής.
Τεχνικά δυσκολεύει το θετική.
Γιαυτό θα αντικαταστήσουμε το θετική με μη αρνητική.

Θα φτιάξουμε μια F:[0,\frac{1}{4}]\rightarrow \mathbb{R}

που η β) συνθήκη θα είναι F'(x)\geq 0

Tοτε η h(x)=F(x)+x^{2} η οποία έχει h'(x)> 0,x\in (0,\frac{1}{4}]

Η F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt,0\leq x\leq \frac{1}{4}

και η f κατασκευάζεται ως εξης:

Θέτουμε f(0)=0
Θα ορίσουμε την f στα διαστήματα \frac{1}{2^{k+1}}< x\leq \frac{1}{2^{k}},k\geq 2.

Για καθαρά τεχνικούς λόγους θεωρούμε την συνάρτηση
r(x)=1-\left | x \right | ,\left | x \right |\leq 1\wedge r(x)=0 ,\left | x \right |> 1
και αυτές που παράγονται από αυτήν
r(a,b)(x)=r(\frac{x-b}{a}) , a> 0,b\in \mathbb{R}

Για \frac{1}{2^{k+1}}< x\leq \frac{1}{2^{k}},k\geq 2

θέτουμε f(x)=r(\frac{1}{4^{k}},\frac{3}{2^{k+2}})(x)


Εξήγηση.Στο μέσο του διαστήματος φτιάχνουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με ύψος 1και βάση \dfrac{2}{4^{k}}
Σε αυτά που περισσεύουν την βάζουμε 0

Προφανώς
\int_{\frac{1}{2^{k+1}}}^{\frac{1}{2^{k}}}f(x)dx=\frac{1}{4^{k}}

Εχουμε F'(x)=f(x) ,0< x\leq \frac{1}{4} γιατί η f(x) είναι συνεχής στο 0< x\leq \frac{1}{4}

Για \frac{1}{2^{k+1}}< x\leq \frac{1}{2^{k}},k\geq 2 έχουμε

0< F(x)\leq \sum_{n=k}^{\infty }\frac{1}{4^{k}}=\frac{1}{3.4^{k-1}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{(2^{k+1})^{2}}.\frac{(2^{k+1})^{2}}{4^{k-1}}\leq \frac{16}{3}x^{2}

Από την τελευταία παίρνουμε ότι η F παραγωγίζεται στο 0 και F'(0)=0

Ετσι για την h τα α,β πληρούνται.

Επειδή για 0< x\leq \frac{1}{4} είναι h'(x)=f(x)+2x

και f(\frac{3}{2^{k+1}})=1 καθώς και f(\frac{1}{2^{k+1}})=0

το \lim_{x\rightarrow 0^{+}}h'(x) δεν υπάρχει.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασύμπτωτη παραγώγου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Μάιος 28, 2017 11:04 am

Στην παραπάνω απόδειξη μπορούμε να θέσουμε

f(0)=0

και f(x)=(1-\left | \sin \frac{\pi }{x} \right |)^{e^{\frac{1}{x}}}

για 0< x\leq \frac{1}{4}

Αν και έτσι έχουμε τύπο για την παράγωγο η απόδειξη δυσκολεύει κατά πολύ.

Πάλι αποδεικνύουμε ότι για 0< x\leq \frac{1}{4}

είναι F(x)\leq Cx^{2}

όπου C> 0 απόλυτη σταθερά.

Αυτό γίνεται κόβοντας και ράβοντας εκεί που το \sin \frac{\pi }{x}=0.

Χρειάζεται να γίνουν εκτιμήσεις σειρών καθώς και ανισότητες γα την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης