Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Tolaso J Kos · #1

Έστω $r \in \mathbb{R}$ . Υπολογίσατε
$\displaystyle{\prod_{n= -\infty}^{\infty} \left(1+\frac{\sin ir}{\cosh n}\right)}$

#2

Επαναφορά!

Τι είναι το i;

Tolaso J Kos · #3

Πού το ξέθαψες αυτό Θανάση; Το 'χα τελείως ξεχάσει.

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 07, 2017 12:59 pm
Έστω $r \in \mathbb{R}$ . Υπολογίσατε
$\displaystyle{\prod_{n= -\infty}^{\infty} \left(1+\frac{\sin ir}{\cosh n}\right)}$

Είναι

$\displaystyle{\prod_{n= -\infty}^{\infty} \left(1+\frac{\sin ir}{\cosh n} \right) = e^{r^2+\pi ir}}$
Ανάγεται στο άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \arctan \frac{\sinh r}{\cosh n} = \pi r}$ .

Tolaso J Kos · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 pm

Ανάγεται στο άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \arctan \frac{\sinh r}{\cosh n} = \pi r}$ .

Υπόδειξη: Τηλεσκοπικό άθροισμα.

Tolaso J Kos · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 8:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 14, 2022 9:08 pm

Ανάγεται στο άθροισμα $\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \arctan \frac{\sinh r}{\cosh n} = \pi r}$ .

Υπόδειξη: Λάθος υπόδειξη.... Σόρρυ!!

Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{\begin{aligned} \arctan \frac{\sinh r}{\cosh n} &= \arctan \frac{e^r - e^{-r}}{e^n + e^{-n}} \\ &= \arctan \left ( \frac{e^{-(n-r)} - e^{-(n+r)}}{1+ e^{-2n}} \right ) \\ &= \arctan e^{-(n-r)} - \arctan e^{-(n+r)} \end{aligned}}$

Κατά συνέπεια σπάζοντας τη σειρά έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \arctan \frac{\sinh r}{\cosh n} &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{\sinh r}{\cosh n} + \arctan \sinh r \\ &=2 \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \arctan e^{-(n-r)} - \arctan e^{-(n+r)} \right ) + \arctan \sinh r \\ &=2 \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \arctan e^{-(n-r)} - \arctan e^{-(n+r)} \right ) + \\ &\quad \quad \quad + \arctan e^r - \arctan e^{-r} \end{aligned}}$
Τέλος,

$\begin{aligned} 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \arctan e^{-(n-r)} - \arctan e^{-(n+r)} \right ) &= 2 \sum_{n=1}^{\infty} \arctan e^{-(n-r)} - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \arctan e^{-(n+r)} \\ &= 2 \sum_{m \geq 1-r} \arctan e^{-m} - 2 \sum_{m \geq 1 +r} \arctan e^{-m} \\ &= 2 \sum_{1 -r \leq m \leq r} \arctan e^{-m} \\ &= 2 \sum_{-r \leq m \leq r} \arctan e^{-m}- 2 \arctan e^r \\ &= 2 \sum_{1 \leq m \leq r} \left ( \arctan e^m +\arctan e^{-m} \right ) + 2 \arctan 1 - 2 \arctan e^r \\ &= 2 \sum_{1 \leq m \leq r} \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 2 \arctan e^r \\ &= \pi r + \frac{\pi}{2} - 2 \arctan e^r \end{aligned}$

Το αποτέλεσμα έπεται.

Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Re: Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Re: Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Re: Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Re: Τριγωνομετρικό γινόμενο !

Μέλη σε σύνδεση