Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4092
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 07, 2017 12:38 am

Υπολογίσατε τη σειρά:
\displaystyle{\mathcal{S}= \sum_{n=1}^{\infty}\left[\arctan\left(\frac{1}{4}-n\right)+\arctan\left(\frac{1}{4}+n\right)\right]}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Παρ Απρ 07, 2017 8:42 pm

Έχουμε \displaystyle \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} - n \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} + n \right) = \tan^{-1} \left( n + \frac{1}{4} \right) - \tan^{-1} \left( n - \frac{1}{4} \right) =

\displaystyle = \int_{n - 1/4}^{n + 1/4} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \int_{- 1/4}^{1/4} \frac{1}{1 + (x+n)^2} \mathrm{d}x = \int_0^{1/4} \left[\frac{1}{1 + (x+n)^2} + \frac{1}{1 + (x-n)^2} \right] \mathrm{d}x

Έτσι το άπειρο άθροισμα είναι \displaystyle \int_0^{1/4} \left( \sum_{n=- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + (x+n)^2} \right) \mathrm{d}x \  - \ \int_0^{1/4} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x =

\displaystyle = \int_0^{1/4} s(x) \mathrm{d}x \ - \ \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} \right), όπου \displaystyle s(x) \equiv \sum_{n=- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{1 + (x+n)^2}

Για την s(x) θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle f(z) \equiv \frac{\pi \cot (\pi z)}{1 + (x+z)^2} που έχει απλούς πόλους σε κάθε n \in \mathbb{Z} (υπόλοιπο \displaystyle \frac{1}{1 + (x+n)^2}) και στα -x \pm i (υπόλοιπο \displaystyle \frac{\pi \cot [ \pi (-x \pm i)]}{\pm 2i})

και το ολοκλήρωμα \displaystyle \oint_C f(z) \mathrm{d}z, όπου C τετράγωνο πλευράς 2n+1 με κέντρο το 0 και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες. Το ολοκλήρωμα τείνει στο 0 για n \to \infty (επειδή η \cot z είναι φραγμένη επί του συνόλου των C) και έτσι το άθροισμα των υπολοίπων είναι 0.

Άρα \displaystyle s(x) = \frac{i \pi}{2} \left( \cot [ \pi (-x + i)] - \cot [ \pi (-x-i)] \right) = \frac{\pi \sinh (2 \pi)}{\cosh(2 \pi) - \cos (2 \pi x)} και έτσι

\displaystyle \int_0^{1/4} s(x) \mathrm{d}x = \frac{\sinh (2 \pi)}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\cosh(2 \pi) - \cos (x)} \mathrm{d}x =

\displaystyle = \tanh{\pi} \int_0^1 \frac{1}{t^2 + \tanh^2 \pi} \mathrm{d}t = \tan^{-1} \left( \coth \pi \right) και τελικά

\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \left( \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} - n \right) + \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} + n \right) \right) =  \tan^{-1} \left( \coth \pi \right) - \tan^{-1} \left( \frac{1}{4} \right)


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4092
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παράξενη τριγωνομετρική σειρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 07, 2017 10:12 pm

:clap2: :clap2:
Εξαιρετικός. Εδώ μας δίδεται η ευκαιρία να δούμε τη δύναμη της μιγαδικής ανάλυσης. Είναι η μία από τις δύο λύσεις που χω. Η άλλη είναι με πραγματική όπου βρίσκουμε και πλήρη γενικό τύπο!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες