Σειρούλα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρούλα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 06, 2017 11:41 pm

Στο θέμα εδώ είχε δοθεί ο υπολογισμός της σειράς
\mathcal{S} = \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2}{n^2+n-1}} Μιας και η απάντηση αποσύρθηκε , αφού δεν απαντούσε στο αρχικό ερώτημα , θέτω ως ανεξάρτητο ερώτημα τον υπολογισμό της σειράς η οποία είναι ενδιαφέρουσα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2821
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σειρούλα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Απρ 06, 2017 11:46 pm

Θα υπολογισθεί η σειρά \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1} :

\begin{aligned} 
\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}&=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& 
=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& 
=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Bigg(\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)-\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\bigg)\Bigg) 
\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& 
=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Bigg(-\gamma+\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\bigg)+\gamma-\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\bigg)\Bigg)\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& 
=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Big(\psi\big(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\big)-\psi\big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)\Big) 
\\\noalign{\vspace{0.2cm}}& 
=\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\Big(\psi\big(1-\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)-\psi\big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\big)\Big) 
\\\noalign{\vspace{0.2cm}}&\stackrel{(*)}{=}\frac{x^2\sqrt{5}}{5}\,\pi\cot\big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,\pi\big) 
\\\noalign{\vspace{0.2cm}}&=\frac{\pi\,x^2\sqrt{5}}{5}\,\tan\big(\tfrac{\pi\sqrt{5}}{2}\big) 
\end{aligned}

Άρα

\begin{aligned} 
\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}&=x^2+\mathop{\sum}\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1}=x^2+\frac{\pi\,x^2\sqrt{5}}{5}\,\tan\big(\tfrac{\pi\sqrt{5}}{2}\big) 
\end{aligned}


(*) ανακλαστικός τύπος για την \psi.


Υ.Γ. Επειδή η σειρά \mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{n^2+n-1} συγκλίνει, έπεται ότι και το γινόμενο\mathop{\prod}\limits_{n=1}^{\infty}\big(1+\frac{x^2}{n^2+n-1}\big) συγκλίνει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4172
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρούλα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 07, 2017 1:20 am

Γενικότερα για a>-\frac{1}{4} ισχύει:
\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2+n-a} = \frac{2 \pi \tan \left ( \frac{\pi \sqrt{4a+1}}{2} \right )}{\sqrt{4a+1}}} η οποία είναι μία απλή εφαρμογή του contour integration.

Επίσης, σε πλήρη αντιστοιχία για a>\frac{1}{4} ισχύει
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2-n+a} = \frac{\pi}{\sqrt{4a-1}} \frac{e^{\pi \sqrt{4a-1}}-1}{e^{\pi \sqrt{4a-1}}+1}} το οποίο το έχουμε δει παλιά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες