Υπολογισμός ημιτόνου

dimkalist93 · #1

Παιδιά γεία σας, θα ηθελα να σας ρωτήσω, πως μπορούμε να λύσουμε το εξής

$\sin(z) = 2$ , φυσικά το

είναι μιγαδικός αριθμός και η λύση του από το mathematica είναι περίπου z =~ 1.57079 + 1.3169i

αλλά το θέμα είναι πώς;
Πριν 2 χρόνια θα το έλυνα αλλά πλέον σαν μηχανικός έχουν σκουριάσει δυστυχώς τα μαθηματικά μου και νιώθω πολύ άσχημα.
Το μόνο που θυμάμαι είναι ότι το ημίτονο γράφετε ως άθροισμα και διαφορά το $[e^{iz}-e^{-iz}]/2i$ ή κάτι με τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα.
Please βοηθήστε γιατί μου ήρθε φλασιά τώρα δεν μπορώ.

#2

gdimitris έγραψε:Παιδιά γεία σας, θα ηθελα να σας ρωτήσω, πως μπορούμε να λύσουμε το εξής

sin(z) = 2 , φυσικά το z είναι μιγαδικός αριθμός και η λύση του απο το mathematica είναι περίπου z =~ 1.57079 + 1.3169i αλλά το θέμα είναι πώς?
Πριν 2 χρόνια θα το έλυνα αλλα πλέον σαν μηχανικός εχουν σκουριάσει δυστυχώς τα μαθηματικά μου και νιώθω πολύ άσχημα.
Το μόνο που θυμάμαι είναι οτι το ημίτονο γράφετε ως αθροισμα και διαφορα το [e^(iz)+e^(-iz)]/2 ή κατι με τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα.
Please βοηθήστε γιατί μου ήρθε φλασιά τώρα δεν μπορώ.

Τα κύρια βήματα:

Ακριβέστερα, η ρίζα που βρήκες είναι η $-\frac {\pi}{2} + i \ln (2+\sqrt 3)$ αλλά υπάρχουν και άλλες. Η μέθοδος είναι η εξής με χρήση του

$\displaystyle { \sin z = \frac { e^{iz} - e^{-iz} }{2i}$

Έχουμε να λύσουμε την $\displaystyle {\frac { e^{iz} - e^{-iz} }{2i}=2$ ισοδύναμα $e^{iz} - e^{-iz} =4i$

Πολλαπλασιάζοντας επί $e^{iz}$ γίνεται η δευτεροβάθμια

$\displaystyle {(e^{iz})^2-4ie^iz-10$

Από τον τύπο με διακρίνουσα είναι $\displaystyle {e^{iz}= (2\pm \sqrt 3)i$

Τώρα παίρνουμε λογάριθμο και κάνουμε χρήση του $\ln w = \ln |w| + i \arg w$
(βλέπε π.χ. https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm )

#3

Η λύση του κ. Λάμπρου αναλυτικά:

$\begin{aligned} \sin{z}=2\quad&\Longrightarrow\quad\frac{1}{2i}\,\big({\rm{e}}^{iz}-{\rm{e}}^{-iz}\big)=2\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad{\rm{e}}^{2iz}-4i\,{\rm{e}}^{-iz}-1=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{w={\rm{e}}^{iz}}{=\!=\!\Longrightarrow}\quad w^2-4i\,w-1=0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad{\rm{e}}^{iz}=w=i\,\big(2\pm\sqrt{3}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad i\,z=\log\big( i\,\big(2\pm\sqrt{3}\big)\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad i\,z=\log{i}+\log\big(2\pm\sqrt{3}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad i\,z=\log|{i}|+i\,\arg{i}+\log\big(2\pm\sqrt{3}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad i\,z=\cancelto{0}{\log|{i}|}+i\,\frac{\pi}{2}+\log\big(2\pm\sqrt{3}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Longrightarrow\quad z=\frac{\pi}{2}-i\,\log\big(2\pm\sqrt{3}\big)\end{aligned}$

Όλες οι λύσεις της εξίσωσης $\sin{z}=2$ είναι οι $z=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi-i\,\log\big(2\pm\sqrt{3}\big)\,,\; k\in{\mathbb{Z}}$ .

dimkalist93 · #4

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας. Θα ήθελα να σας ρωτήσω, ένας μαθηματικός αυτά που μου απαντήσατε, τα λύνει πολύ εύκολα; Και λέγοντας ένας μαθηματικός εννοώ ένας μαθηματικός που δουλεύει σαν καθηγητής σε σχολίο ή φροντιστήριο. Με άλλα λόγια, άπαξ και τα μάθει μετά τέτοιου επιπέδου μαθηματικά που είναι πολύ απλά σε σχέση με τα υπολοιπα, τα ξεχνάει εύκολα και χρειάζεται συνεχώς εξάσκηση ή οχι; Όπως σας είπα σαν μηχανικός τα έχω ψιλοξεχάσει( Είμαι στο 5 έτος αλλά τα μαθηματικά αυτά έχω να τα δώ απο το 3 έτος)

#5

gdimitris έγραψε: Θα ήθελα να σας ρωτήσω, ένας μαθηματικός αυτά που μου απαντήσατε, τα λύνει πολύ εύκολα; Και λέγοντας ένας μαθηματικός εννοώ ένας μαθηματικός που δουλεύει σαν καθηγητής σε σχολίο ή φροντιστήριο.

Η εκθετική μορφή του ημιτόνου είναι εκτός σχολικής ύλης, όχι ότι είναι δύσκολο.

Στο πρώτο ερώτημα, αυτό που κοκκίνισα, η απάντηση είναι ότι ο Μαθηματικός τα λύνει πανεύκολα: Η άσκηση δεν θέλει φαντασία. Είναι ρουτίνα και ακολουθεί κανείς τα άμεσα βήματα και τους ορισμούς.

dimkalist93 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
gdimitris έγραψε: Θα ήθελα να σας ρωτήσω, ένας μαθηματικός αυτά που μου απαντήσατε, τα λύνει πολύ εύκολα; Και λέγοντας ένας μαθηματικός εννοώ ένας μαθηματικός που δουλεύει σαν καθηγητής σε σχολίο ή φροντιστήριο.
Η εκθετική μορφή του ημιτόνου είναι εκτός σχολικής ύλης, όχι ότι είναι δύσκολο.

Στο πρώτο ερώτημα, αυτό που κοκκίνισα, η απάντηση είναι ότι ο Μαθηματικός τα λύνει πανεύκολα: Η άσκηση δεν θέλει φαντασία. Είναι ρουτίνα και ακολουθεί κανείς τα άμεσα βήματα και τους ορισμούς.

Πραγματικά θαυμάζω τους μαθηματικούς και τους φυσικούς, είναι πραγματικά αυτό που λέμε επιστήμονες. Ο λόγος που δεν ακολούθησα αυτές τις σχολές ήταν καθαρά η προπαγάνδα που φάγαμε στο σχολείο για την δήθεν ανωτερώτητα του πολυτεχνείου έναντι των άλλων σχολών και η επαγγελματική αποκατάσταση. Από διδακτορικούς μηχανικούς που βλέπω, οι περισσότεροι δεν θα είχαν αυτή την πορεία σε σχολές όπως τις 2 ανωτέρω. Το κακό με το μαθηματικό είναι ότι αφού τελειώσεις οι επιλογές σου στην αγορά είναι περιορισμένες

#7

gdimitris έγραψε: Το κακό με το μαθηματικό είναι ότι αφού τελειώσεις οι επιλογές σου στην αγορά είναι περιορισμένες

Όπως ακριβώς τα λες, τουλάχιστον στον τόπο μας.

Το δυστύχημα είναι ότι σε άλλα μέρη συμβαίνει το αντίθετο. Π.χ. το 2014 το επάγγελμα του
Μαθηματικού στις ΗΠΑ ήταν το πρώτο σε καριέρα, αποδοχές, προοπτικές και ζήτηση σε σύγκριση με όλα τα άλλα επαγγέλματα. Βλέπε π.χ. εδώ.
Επίσης εδώ μία τεράστια ποικιλία επαγγελμάτων που μπορεί (στις ΗΠΑ) να ακολουθήσει ένας Μαθηματικός.

Αν βάλετε στο Google τις λέξεις mathematics best profession θα σας βγάλει πληθώρα πληροφοριών για το άριστο της καριέρας του Μαθηματικού, πλην όμως οι εικόνα αυτή δεν μεταφέρεται αυτούσια στα ημέτερα εδάφη.

Ευτυχώς στην Ελλάδα έχουμε, για να χρησιμοποιήσω μία φράση του Σεφέρη, "εκείνα που δεν αγοράζονται με χρήματα".

Ο Σεφέρης βέβαια αναφερόταν σε παλαιότερες εποχές, και η νεολαία μας μπορεί να μην το βλέπει έτσι, αλλά ας ελπίσουμε ότι θα δούμε καλύτερες μέρες από την παραφροσύνη που ζούμε σήμερα.

Υπολογισμός ημιτόνου

Υπολογισμός ημιτόνου

Re: Υπολογισμός ημιτόνου

Re: Υπολογισμός ημιτόνου

Re: Υπολογισμός ημιτόνου

Re: Υπολογισμός ημιτόνου

Re: Υπολογισμός ημιτόνου

Re: Υπολογισμός ημιτόνου

Μέλη σε σύνδεση