Εύρεση συναρτήσεων!

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 883
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Εύρεση συναρτήσεων!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Μαρ 08, 2017 2:28 pm

Έστω c\in (0,1). Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:
\displaystyle{f(x)f(cx)e^{y}-f(y)f(cy)e^{x}\leqslant e^{x+y}\left ( x-y \right )^{2n}}, για κάθε x,y\in \mathbb{R} και για κάθε n\in \mathbb{N}^{\ast }. Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Μαρ 08, 2017 9:58 pm

M.S.Vovos έγραψε:Έστω c\in (0,1). Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:
\displaystyle{f(x)f(cx)e^{y}-f(y)f(cy)e^{x}\leqslant e^{x+y}\left ( x-y \right )^{2n}}, για κάθε x,y\in \mathbb{R} και για κάθε n\in \mathbb{N}^{\ast }. Φιλικά,
Μάριος
Γεια σου Μάριε.
Που το βρήκες αυτό το έκτρωμα ;

Επί της ουσίας.
Δεν χρειάζεται για κάθε n\in \mathbb{N}^{\ast }.
Αρκεί να ισχύει για n=1(η στην θέση του 2n να είναι 1+\epsilon ,\epsilon > 0)
Αν κάποιος μπορεί να λύσει για c\in (0,1) μπορεί και για c\in \mathbb{R}

Αν θεωρήσουμε g(x)=f(x)f(cx)e^{-x} (από άσκηση σχολικού 2.6 1 Β ΟΜΑΔΑΣ)
βγαίνει σταθερή.

Επειδή f(0)=1
έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα.


Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:

f(x)f(cx)=e^{x}

το οποίο είναι ενδιαφέρον.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Μαρ 31, 2017 4:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:

f(x)f(cx)=e^{x}

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το c\in \mathbb{R}


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Απρ 01, 2017 10:23 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:

f(x)f(cx)=e^{x}

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το c\in \mathbb{R}
Γεια σας
f(x)f(cx)=e^x (1) θέτω x=cx------> f(cx)f(c^2x)=e^{cx}(2)
(1)/(2) ----> \frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}
Tώρα θεωρητικά μάλλον μπορούν να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αφου γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται στους χ΄χ, ψ΄ψ
Φυσικά δεν αποτελεί λύση απλά σκέψεις


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 01, 2017 10:58 pm

mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:

f(x)f(cx)=e^{x}

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το c\in \mathbb{R}
Γεια σας
f(x)f(cx)=e^x (1) θέτω x=cx------> f(cx)f(c^2x)=e^{cx}(2)
(1)/(2) ----> \frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}
Tώρα θεωρητικά μάλλον μπορούν να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αφου γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται στους χ΄χ, ψ΄ψ
Φυσικά δεν αποτελεί λύση απλά σκέψεις
Να δώσω μια υπόδειξη αφού ασχολήθηκες με το θέμα.
1)Υπέθεσε ότι \left | c \right |< 1,c\neq 0
2)Την σχέση που έγραψες εφάρμοσε την n φορές και πάρε n\rightarrow \infty

Για c=0,1,-1 είναι τετριμμένο
Για \left | c \right |> 1 είναι ανάλογο με το \left | c \right |< 1,c\neq 0


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Σάβ Απρ 01, 2017 11:08 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, με f(0)=1, για τις οποίες ισχύει:

f(x)f(cx)=e^{x}

το οποίο είναι ενδιαφέρον.
Επαναφορά.
Το c\in \mathbb{R}
Γεια σας
f(x)f(cx)=e^x (1) θέτω x=cx------> f(cx)f(c^2x)=e^{cx}(2)
(1)/(2) ----> \frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}
Tώρα θεωρητικά μάλλον μπορούν να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις αφου γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται στους χ΄χ, ψ΄ψ
Φυσικά δεν αποτελεί λύση απλά σκέψεις
Να δώσω μια υπόδειξη αφού ασχολήθηκες με το θέμα.
1)Υπέθεσε ότι \left | c \right |< 1,c\neq 0
2)Την σχέση που έγραψες εφάρμοσε την n φορές και πάρε n\rightarrow \infty

Για c=0,1,-1 είναι τετριμμένο
Για \left | c \right |> 1 είναι ανάλογο με το \left | c \right |< 1,c\neq 0
Στο 2) μπορεί να δωθεί επεξήγηση


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Απρ 01, 2017 11:46 pm

Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
f(x),f(c^{n+1}x) και του e με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε n άρτιο.
Μετά παίρνεις n\rightarrow \infty.
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Απρ 02, 2017 12:25 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
f(x),f(c^{n+1}x) και του e με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε n άρτιο.
Μετά παίρνεις n\rightarrow \infty.
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.
Πολύ ωραία σκέψη.
Εστίασα στην γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γι΄ αυτό έφτιαξα αναλογίες \frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}
Αν μπορέσω να βρω και 2ο τρόπο θα τον αναρτήσω


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Απρ 02, 2017 12:53 am

mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
f(x),f(c^{n+1}x) και του e με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε n άρτιο.
Μετά παίρνεις n\rightarrow \infty.
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.
Πολύ ωραία σκέψη.
Εστίασα στην γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γι΄ αυτό έφτιαξα αναλογίες \frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}
Αν μπορέσω να βρω και 2ο τρόπο θα τον αναρτήσω

Αυτό
\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}

είναι

\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{x(c-1)}


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Απρ 02, 2017 1:02 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Βεβαίως.
Τώρα βλέπω ότι η τελική σου σχέση έχει τυπογραφικό.
f(x)f(cx)=e^{x},f(cx)f(c^{2}x)=e^{cx},f(c^{2}x)f(c^{3}x)=e^{c^{2}x}.....f(c^{n}x)f(c^{n+1}x)=e^{c^{n}x}
κάνοντας απαληφή βρίσκεις μια σχέση μεταξύ των
f(x),f(c^{n+1}x) και του e με εκθέτη ενα άθροισμα.
Για διευκόλυνση πάρε n άρτιο.
Μετά παίρνεις n\rightarrow \infty.
Το άθροισμα στον εκθέτη συγκλίνει.
Πολύ ωραία σκέψη.
Εστίασα στην γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος γι΄ αυτό έφτιαξα αναλογίες \frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}
Αν μπορέσω να βρω και 2ο τρόπο θα τον αναρτήσω

Αυτό
\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{c(x-1)}

είναι

\frac{f(c^2x)}{f(x)} =e^{x(c-1)}
Σωστά


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2678
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση συναρτήσεων!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 07, 2017 3:36 pm

Στο
viewtopic.php?f=61&t=4599
εχει συζητηθεί η περίπτωση c\in (0,1)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης