Ανισότητα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Παρ Φεβ 24, 2017 12:11 am

Έστω η συνεχής συνάρτηση f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}. Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}x^{4}f(x)dx\leqslant \frac{4}{15}\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx} Πότε ισχύει η ισότητα;

Η πηγή θα δοθεί μετά την λύση.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 24, 2017 11:46 am

Λόγω ομοιογένειας μπορούμε να υποθέσουμε ότι \int_{0}^{1}f(x)dx=1

Οι γραμμικοί συνδυασμοί των 1,x^{4},x^{2},x^{6},x^{8},...x^{2k},...

είναι πυκνό σύνολο στον L^{2}[0,1]

καθώς και στον C[0,1],\left \| \right \|_{\infty }


Κάνοντας ορθοκανονικοποίηση στο παραπάνω σύνολο παίρνουμε

p_{1}(x)=1,p_{2}(x)=\frac{15}{4}(x^{4}-\frac{1}{5}),p_{3}(x),....

Ετσι είναι f(x)=1+a_{2}p_{2}(x)+....

Εχουμε \int_{0}^{1}f(x)x^{4}dx=\int_{0}^{1}f(x)(x^{4}-\frac{1}{5})dx+\frac{1}{5}=\int_{0}^{1}f(x)p_{2}(x)\frac{4}{15}dx+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{15}a_{2}

Επίσης είναι \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=1+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+...

Αρκεί να αποδείξουμε ότι \frac{1}{5}+\frac{4}{15}a_{2}\leq \frac{4}{15}(1+a_{2}^{2})

Η τελευταία είναι ισοδύναμη με την (2a_{2}-1)^{2}\geqslant 0

που φυσικά ισχύει.

Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι έχουμε ισότητα αν f(x)=1+\frac{1}{2}p_{2}(x)

Παρατήρηση.
Η ανισότητα ισχύει για κάθε f\in L^{2}[0,1]

Συμπλήρωση.Προσέθεσα κάποια επιπλέον στοιχεία για να γίνει σαφέστερη η λύση.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Φεβ 24, 2017 5:21 pm

Αν υποθέσουμε ότι \int_{0}^{1}f(x)dx=1

Η σχέση \int_{0}^{1}(f(x)-1-\frac{15}{8}(x^{4}-\frac{1}{5}))^{2}dx\geq 0
μας δίνει την ανισότητα.

Το γράφω για να καταλάβουν κάποιοι πως γίνονται τα ακροβατικά.
Φυσικά με δεύτερο ακροβατικό μπορούμε να την βγάλουμε χωρίς να υποθέσουμε την \int_{0}^{1}f(x)dx=1.


Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Σάβ Φεβ 25, 2017 1:54 pm

Πολύ ωραία Σταύρο! Ευχαριστώ.

Πηγή: AoPS

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης