Σειρά

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Ιαν 05, 2017 10:50 pm

Να δειχθεί ότι:
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(4n^2-1)^2}=\frac{\pi^2}{64}} Έχω υπόψιν μου δύο προσεγγίσεις μία εκ' των οποίων είναι με σειρά Fourier.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3208
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 06, 2017 3:42 pm

Είναι γνωστό ότι
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}
(εντελώς στοιχειώδης απόδειξη υπάρχει στην άσκηση 8.46 στο Mathematical Analysis του Tom Apostol.)

Εύκολα βλέπουμε ότι

\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{8}(1)

Εχουμε

\dfrac{n}{4n^{2}-1}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})

Ετσι (\dfrac{n}{4n^{2}-1})^{2}=\frac{1}{16}(\frac{1}{(2n-1)^{2}}+\frac{1}{(2n+1)^{2}}+\frac{2}{(2n-1)(2n+1)})

Αθροίζοντας την τελευταία λαμβάνοντας υπ οψιν μας την (1) και ότι η άλλη σειρά είναι τηλεσκοπική παίρνουμε το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4361
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 06, 2017 4:02 pm

Σταύρο,

πολύ ωραία. Παίζοντας λίγο με αυτό βγάζουμε τελικά το εξής
\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{4^{k-1}}\zeta(2k)=\frac{\pi^2}{4}} όπου \zeta η συνάρτηση \zeta του Riemann. Ουσιαστικά για αυτό το άθροισμα που προτείνω τώρα αναγόμαστε σε αυτό που μόλις έλυσες.

Απόδειξη:
\begin{tikzpicture} 
\draw [thick] (-5, 0) -- (5, 0); 
\end{tikzpicture}

Μία άλλη προσέγγιση είναι με σειρά Fourier. Ξεκινάμε από τη συνάρτηση f(x)=\cos x , \; x \in \left( 0, \pi \right). Εύκολα δείχνουμε ότι η σειρά Fourier της συνάρτησης f είναι η
\displaystyle{\frac{8}{\pi}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n\sin{2nx}}{4n^2-1}} Από Parseval παίρνουμε το ζητούμενο.

\begin{tikzpicture} 
\draw [thick, red] (-5, 0) -- (5, 0); 
\end{tikzpicture}

Παλιότερο σχετικό θέμα με Fourier μπορεί να βρεθεί εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης