Ακολουθία (εύκολη)...
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
Ακολουθία (εύκολη)...
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
Το γινόμενο είναι και το άθροισμαM.S.Vovos έγραψε:Δίνεται η ακολουθία με .
Να δείξετε ότι .
. Όλο μαζί
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
Ευχαριστώ κ. Μιχάλη για τη λύση!
Να συνεχίσω με μία παραλλαγή της παραπάνω ακολουθίας που την κάνει λίγο πιο ενδιαφέρουσα (όχι και κάτι τρομερό όμως).
Υπολογίσατε το όριο της .
Φιλικά,
Μάριος
Να συνεχίσω με μία παραλλαγή της παραπάνω ακολουθίας που την κάνει λίγο πιο ενδιαφέρουσα (όχι και κάτι τρομερό όμως).
Υπολογίσατε το όριο της .
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
M.S.Vovos έγραψε: Υπολογίσατε το όριο της .
Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι για . Πράγματι, το επαγωικό βήμα απαιτεί
που είναι το ζητούμενο.
Επίσης
Άρα η παράσταση είναι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
Στην παραπάνω λύση, στο βήμα χρησιμοποίησα την για με . Η απόδειξη αυτής είναι απλή επαγωγικά (πρόκειται για την ανισότητα Bernoulli).Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μία παραλλαγή του τρόπου επίλυσης θα ήταν από την ΑΜ-ΓΜ, όπου
και ο δεύτερος προσθετέος είναι , και λοιπά, όπως πριν.
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
Γρήγορες και οι δύο λύσεις σας κ. Μιχάλη. Άλλη μία χάριν πλουραλισμού περισσότερο.
Θα χρειαστούμε ότι (ορισμός παραγοντικού) και (απόδειξη με τη μέθοδο της επαγωγής ) και (αφήνεται ως άσκηση, έχει ενδιαφέρον).
Η ζητούμενη ακολουθία από τα παραπάνω γράφεται ως εξής:
Φιλικά,
Μάριος
Θα χρειαστούμε ότι (ορισμός παραγοντικού) και (απόδειξη με τη μέθοδο της επαγωγής ) και (αφήνεται ως άσκηση, έχει ενδιαφέρον).
Η ζητούμενη ακολουθία από τα παραπάνω γράφεται ως εξής:
Φιλικά,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
Πρόκειται για τον τύπο του Stirling, που συνήθως διατυπώνεται (η απλή του μορφή) ως .M.S.Vovos έγραψε: (αφήνεται ως άσκηση, έχει ενδιαφέρον).
Μάριε,
παρατήρησε ότι η λύση σου είναι ουσιαστικά ίδια με την δική μου (και την είχα υπ' όψη), με μόνη διαφορά
ότι για να αποφύγω την ασυμπτωτική συμπεριφορά χρησιμοποίησα το πολύ απλούστερο που μας αρκεί.
Αυτό που έγραψα είναι όχι μόνο ελαφρύτερο, αλλά έχει το πλεονέκτημα ότι σε όρια που είναι δεν υπάρχει κανένας λόγος να βρίσκουμε ακριβείς τιμές παραστάσεων που έτσι και αλλιώς απορροφούνται από τους άλλους όρους.
Για παράδειγμα αν θέλουμε να βρούμε το όριο στο άπειρο της
το τελευταίο πράγμα που θα κάνουμε είναι να βρούμε το όριο του μεσαίου προσθετέου, αφού μας αρκεί απλά να πούμε ότι η παραπάνω παράσταση είναι
Έκανα ακριβώς το ίδιο σκεπτικό στην λύση μου: Αντί Stirling έβαλα μία απλή ανισότητα.
Re: Ακολουθία (εύκολη)...
Κατάλαβα κ. Μιχάλη. Άυτό ήταν και το σημείο που θεώρησα διαφορετικό (δεν είναι όπως επισημάνατε) με την χρήση του Stirling.
Μάλιστα, σε εξετάσεις νομίζω ότι θα προτιμούσα την προσέγγιση που κάνατε χωρίς να μπω στην διαδικασία υπολογισμού που δεν χρησιμεύει ουσιαστικά στο τελικό αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ και πάλι για την ενασχόληση!
Με εκτίμηση,
Μάριος
Μάλιστα, σε εξετάσεις νομίζω ότι θα προτιμούσα την προσέγγιση που κάνατε χωρίς να μπω στην διαδικασία υπολογισμού που δεν χρησιμεύει ουσιαστικά στο τελικό αποτέλεσμα.
Ευχαριστώ και πάλι για την ενασχόληση!
Με εκτίμηση,
Μάριος
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 16 επισκέπτες